Определение линейного пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать 
...), в котором установлены правила:
1) любым двум элементам 
соответствует третий элемент 
называемый суммой элементов 
(внутренняя операция);
2) каждому 
и каждому 
отвечает определенный элемент 
(внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I. 
II. 
III. 
(нулевой элемент, такой, что 
).
IV. 
(элемент, противоположный элементу 
), такой, что 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).
Подпространство линейного пространства
Множество 
называется подпространством линейного пространства V, если:
1) 
2) 
2. Два вектора плоскостилинейно зависимытогда и только тогда они коллинеарны.
Два вектора плоскости 
линейнонезависимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов 
, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов. Любой вектор плоскости 
единственным образом раскладывается по базису :
, где 
– действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.
3. Определение 1. 
-мерным аффинным пространством над полем 
называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:
1. Существует по меньшей мере одна точка1).
2. Каждой паре точек 
, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через 
.
3. Для каждой точки 
и каждого вектора 
существует одна и только одна точка 
такая, что 
2).
4. (Аксиома параллелограмма.) Если 
, то 
.
5. Каждому вектору и каждому числу 
поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается 
и называется произведением вектора на число 
.
6. 
для любого вектора .
7. 
для всех 
.
8. 
для любых векторов 
.
9. 
для всех .
10. Существует 
линейно независимых векторов, но любые 
векторов линейно зависимы между собой.
Пример 1. Трехмерное пространство 
является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел 
АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямолинейная система координат в аффинном пространстве. А. с. к. на плоскости задается упорядоченной парой неколлинеарных векторов е1 и е2 (аффинный базис) и точкой О (начало координат). Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, наз. осями координат. Векторы е1 и е2 задают на осях координат положительное направление. Ось, параллельная вектору е1, наз. осью абсцисс, а параллельная вектору е2, - осью ординат. Аффинными координатами точки М наз. упорядоченная пара чисел (х, у), к-рые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по векторам базиса:
4. Евклидовым пространством называется n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. калярным произведением двух векторов 
и 
называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
Если угол между векторами острый: 
(от 0 до 90 градусов), то 
, и скалярное произведение будет положительным: 
.
Если угол между векторами тупой: 
(от 90 до 180 градусов), то 
, и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: 
.
Модулем (длиной) вектора 
называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как 