Расстояние между скрещивающимися прямыми
Т1. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра
Т2. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Т3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.
Т4. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения одной из этих прямых с перпендикулярной ей плоскостью до проекции другой прямой на эту плоскость.
Теоремы с доказательством
16) Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к третьей.
17) Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Т1 Если одна из двух параллельных прямых перепендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепендикулярна к этой плоскости.
Т2 (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
18) Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Т1. (с док-вом) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Т2. (без док-ва) Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
19) Теорема о прямой, перпендикулярной данной плоскости. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна.
20) Теорема о плоскости, перпендикулярной данной прямой. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна.
21) Теорема о свойствах проекций наклонной. Если из одной и той же точки, не лежащей в плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то две наклонные, имеющие равные проекции, равны.
22) Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.
23) Теорема об угле между наклонной и плоскостью. Угол между наклонной к плоскости и ее проекцией на эту плоскость есть наименьший из углов между наклонной и каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
24) Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна другой плоскости.
25) Следствие из признака перпендикулярности плоскостей. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
26) Свойство перпендикулярных плоскостей.Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
27) Теорема о существовании и единственности общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единственен.
28) Свойства прямоугольного параллелепипеда.
Т1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.
Т2. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
29) Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Пусть S – площадь многоугольника, образующего с плоскостью α угол φ, S 1 – площадь проекции данного многоугольника на плоскость α. Тогда справедлива формула S 1 = S cos φ.
30) Пространственная теорема Пифагора. Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра – прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.