ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
УДК 514.072
ББК 22.151 р 30
ã Подоксенов М.Н., 2008.
СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.. 6
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 7
§1. Направленные отрезки. Понятие вектора. 7
§2. Операции над векторами. 8
§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве. 12
§4. Проекция вектора на ось. 13
§5. Скалярное произведение векторов. 15
§6. Координаты вектора и точки на прямой. 16
§7. Координаты вектора и точки на плоскости. 17
§8. Координаты вектора и точки в пространстве. 20
§9. Деление отрезка в данном отношении. 22
§10. Векторное произведение. 23
§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах. 24
§12. Смешанное произведение векторов. 27
§13. Двойное векторное произведение. 29
§14. Полярная система координат на плоскости. 30
§14. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве. 31
§15. Преобразование координат. 32
§16. Общее преобразование координат в пространстве. 35
§18. Примеры решения задач. 36
ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ... 45
§1. Уравнение кривой и поверхности. 45
§2. Уравнение прямой на плоскости. 48
§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 53
§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой. 55
§6. Пучок прямых. 57
§7. Уравнение плоскости в пространстве. 59
§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости. 62
§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. 63
§10. Уравнение прямой в пространстве. 64
§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 66
§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми. 67
§13. Примеры решения задач. 70
ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА... 87
§1. Эллипс. 87
§2. Гипербола. 90
§3. Конические сечения. Парабола. 93
§4. Касательные к коническим сечениям. 97
§5. Диаметры конических сечений. 98
§6. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой. 100
§7. Классификация центральных кривых второго порядка (случай d ¹ 0). 104
§8. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай d = 0). 106
§9. Примеры решения задач. 109
ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА... 118
§1. Цилиндрические поверхности. 118
§2. Конические поверхности. 120
§3. Поверхность вращения. 123
§4. Эллипсоид. 124
§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. 124
§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды. 124
§7. Классификация поверхностей второго порядка. 124
§8. Примеры решения задач.. 124
ПРИЛОЖЕНИЕ.. 124
§1. Матрицы и определители. 124
§2. Правило Крамера. 124
Используемые сокращения. 124
Алфавитный указатель. 124
Литература. 124
ВВЕДЕНИЕ
Данный курс лекций рассчитан на студентов физического факультета, обучающихся по специальности «физика и математика» и написан в соответствии с учебной программой по данной специальности. Он также будет полезен студентам заочного отделения математического факультета, обучающимся по специальности «математика и информатика».
Курс лекций сопровождается примерами решения задач. Это будет очень полезно студентам заочного отделения при решении контрольных работ и студентам очного отделения при решении индивидуальных практических заданий. Это особенно актуально в связи с тем, что большое количество часов в учебной программе отводится на самостоятельную работу студентов.
Основное внимание уделяется изложению фактического материала. Доказательства приводятся по-возможности кратко.
В первую часть курса вошли разделы, относящиеся к аналитической геометрии: векторная алгебра и системы координат, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка. В приложении приводятся сведения из алгебры, необходимые для изучения аналитической геометрии. Это связано с тем, что данные разделы изучаются в курсе алгебры, как правило, слишком поздно. Материал, изложенный мелким шрифтом, считается дополнительным.
Во вторую часть курса предполагается включить разделы: векторное и аффинное пространство, группы преобразований, дифференциальная геометрия, методы изображений.
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.