Координаты вектора и точки на плоскости

Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора , и произвольная точка O. Пару B = {, } назовем базисом, а тройкуR = {O, , } – аффинным репером. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:

= , = , = .

Проведем прямые l1= OA , l2 = OB. Построим параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых l1, l2, так чтобы C являлась его вершиной. Пусть A1 и B1 – вершины параллелограмма, лежащие на l1 и l2 соответственно. Пусть = , = . Тогда по правилу параллелограмма = + . Поскольку ||, а ||, то существуют такие числа x1, x2 , что = x1 , = x2 Þ

= x1 + x2. (4)

Это выражение называется разложением векторапо базису B = {, }. Числа x1, x2 называются координатами вектора в данном базисе. Они же называются координатами точки C относительно репера R = {O, , }. Пишем (x1, x2)B, C(x1, x2)R. Если заранее известно, о каком базисе или репере идет речь, то их обозначение к координатам не добавляют. Репером на плоскости также называют тройку точек {O, A, B}.

Точка O называется началом координат. Прямые l1, l2 вместе с выбранными на них направленными отрезками , называются координатными осями. А совокупность координатных осей и начала координат называется аффинной системой координат (СК) на плоскости. Иногда репером называют также тройку точек {O, A, B}, не лежащих на одной прямой.

Вектор называется радиус-вектором точки C в данной СК или в данном репере. Если мы выберем другое начало координат O1, то та же самая точка C будет задаваться другим радиус-вектором = . Поэтому ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат.

Действительно, пусть мы имеем еще одно разложение:

= y1 + y2, (4¢)

где, например, x2 ≠ y2 . Вычтем (4¢) из (4):

= (x1 – y1) + (x2 – y2) Þ = .

Мы получили, что ||, но мы с самого начала предполагали, что векторы и неколлинеарны. Противоречие. Значит, x2 = y2. Аналогично доказывается, что x1 = y1.

Определение. БазисBи реперRназываются ортонормированными, если базисные векторы являются единичными и взаимно перпендикулярными (| |= | |=1 и · = 0). В этом случае СК тоже называется ортонормированной. Если, к тому же, пара (, ) является правой, то СК называется декартовой.

Тогда приняты следующие обозначения: координаты (x, y), координатные оси – Ox, Oy, базисные векторы – i , j , направленные отрезки на осях – OE1, OE2 . Векторы i, j называются базисными ортами.

Пусть произвольный вектор в декартовой СК имеет координаты (x, y), т.е. = xi + yj . Домножим это равенство скалярно на вектор i:

· i = x(i·i) + y(j·j) =x·1 + y· 0 = x.

А, с другой стороны,

· i =½½½i½ cosÐ(,i) =½½ cosÐ(i, ) = POx.

Значит, x = POx . Аналогично получаем y = POy. Таким образом, в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть a =Ð( i, ), b =Ð( j, ). Тогда величины cos a и cos b называются направляющими косинусами вектора .

Пусть в произвольной аффинной СК, которая задаётся репером R = {O, , } известны координаты двух векторов: (x1, x2), (y1, y2). Тогда

+ = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) = (x1+y1) + (x2+y2).

l = l(x1 + x2 ) = (lx1) + (lx2).

Значит, вектор + имеет координаты (x1+ y1, x2 + y2), а вектор l имеет координаты (lx1,lx2). Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Также легко убедиться, что при вычитании векторов их координаты вычитаются.

Допустим, нам известны координаты двух точек P(x1, x2), Q(y1, y2), а = . Выясним, как найти координаты этого вектора.

Пусть = , = . Согласно определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Значит, (x1, x2), (y1, y2). По правилу тре-угольника + = , т.е. = – .

Значит, (y1– x1, y2 – x2).

Таким образом, для того, чтобы найти координаты вектора надо от координат его конца вычесть координаты начала.