Координаты вектора и точки в пространстве

Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора , , . Назовем их базисными, а тройку B = {, , } – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = {O, , , } назовем аффинным репером в пространстве. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:

= , = ,

= , = .

Проведем прямые l1 = OA, l2 = OB, l3 = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A1, B1, C1 – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l1, l2, l3, а D1 – четвертая вершина основания. Пусть

= , = , = , = .

Тогда = , и по правилу треугольника = + . А по правилу параллелограмма = + . Значит, = + + . Но ||, ||, ||, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x1, x2, x3, что = x1, = x2, = x3 Þ

= x1 + x2 + x3 . (5)

Это выражение называется разложением векторапо базисуB. Числа x1, x2, x3 называются координатами вектора в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репераR. Пишем (x1, x2, x3 )B , D(x1, x2, x3 )R . Репером также называют четверку точек {O, A, B, C}.

Вектор называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l1, l2, l3, вместе с выбранными на них направленными отрезками , , , называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек {O, A, B, C}, не лежащих в одной плоскости.

Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором Þ ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение

= y1 + y2 + y3, (5' )

где, например, y3 ≠ x3 . Вычтем (5' ) из (5):

= (x1 – y1) + (x2 – y2) + (x3 – y3), Þ

= + .

Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и . А мы с самого начала предполагали, что векторы , , некомпланарны. Противоречие. Значит, y3 = x3 . Аналогично доказывается, что y2 = x2, y1 = x1.

Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.

Если векторы , , единичные и взаимно ортогональные, то базис Bи репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы , , образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE1, OE2, OE3.

Векторы i, j, kназываются базисными ортами.

Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть a =Ð( i, ), b =Ð( j, ), g =Ð( j, ). Тогда величины cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора .

Они обладают свойством: cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Теорема 1¢. (второй признак коллинеарности векторов).

Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( (a1, a2, a3)½½ (b1, b2, b3) Û = = ).

Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов || Û $l: = l Û a1= lb1, a2 = lb2, a3 = lb3 Û Û == = l .