Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах

⇐ Назад

Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k –базисные орты. Пусть (a₁,a₂,a₃), (b₁,b₂,b₃). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому

·=(a₁i+a₂j+a₃k)·(b₁i+b₂j+b₃k)= a₁b₁i·i +a₁b₂i·j+a₁b₃ i·k+

+ a₂b₁j·i+a₂b₂j·j+ a₂b₃j·k+ a₃b₁k·i+a₃b₂k·j+ a₃b₃k·k.

Нам известно, что i, j, k– единичные и взаимно ортогональные Þi·i==j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k =0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому

·=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ . (7)

Þ ²=·= a₁²+a₂²+a₃² (8)

Þ ½½= = (9)

Þ cosÐ(,) = =. (10)

Если A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то (x₂–x₁,y₂– y₁, z₂– z₁) Þ

½½= . (11)

Обозначим r(A,B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A,B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(A,B)=r(B,A);

2. r(A,B)+r(B,C) ³ r(A,C) (неравенство треугольника);

3. r(A,B)³0, и r(A,B)=0 Û A=B.

В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.

Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: (a₁,a₂,a₃) и (b₁,b₂,b₃), вычисляется по формуле:

(12)

= (a₁b₂– a₂b₁)i –(a₁b₃– a₃b₁)j+(a₂b₃– a₃b₂)k.

Доказательство. Обозначим – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.

1. С одной стороны

½½²=(a₂b₁– a₃b₁)² +(a₁b₃– a₃b₁)²+(a₂b₃– a₃b₂)² (*),

А с другой стороны

(½½½½sinÐ(,))²= ½½²½½²sin²Ð(,)=½½²½½²(1–cos²Ð(,))=

=½½²½½²–½½²½½²cos²Ð(,)=½½²½½²–(·)²=

= (a₁²+a₂²+a₃²)·(b₁²+b₂²+b₃²) – (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)². (**)

Самостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.

2. ·= (a₁i+a₂j+a₃k)·( )

так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит ^. Ана-логично доказывается,что^.

3.Если ½½, то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть и неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Ox, а Oy лежала в одной плоскости си , причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и . Ось Oz после этого определяется

однозначно. Тогда (a₁,0,0), (b₁,b₂,0), причем, a₁>0, b₂>0. Согласно формуле (12) получаем= a₁b₂k, причем,a₁b₂>0. Значит Oz, и из чертежа видим, что тройка (,,) – правая.

Итак, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.

Следствие 1.´= –´.

Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:

Следствие 2. (l)´ = l(´).

Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:

Следствие 3.´(+)=´+´.

Действительно, по свойствам определителя

Следствие 4. i´j=k, k´i=j, j´k=i.

Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).

Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».

⇐ Назад