Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой
Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0 , (14)
имеет нормальную форму, если A2+B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :
x + y + = 0.
Тогда 2+ 2= 1.
Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x1, y1) до прямой вычисляется по формуле
h =½Ax1+ By1+ C½ . (17)
Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то
h = . (17¢ )
Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1. Пусть Mo(xo, yo) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN
на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =ÐMMoN .
1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =½MN½=½MMo½·sin b =½½·sin( – a) =
=½½·cos a·½½= ·
(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x1– xo, y1– yo) Þ
h = A(x1– xo) + B(y1– yo) = Ax1+By1+C – (Axo+Byo+C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку MoÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax1+ By1+ C.
2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают
h = – · = –Ax1 – By1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это
значит, что во втором случае Ax1+ By1+ C < 0 (равенство исключается, т.к. MÏ l). Поэтому
h =½Ax1+ By1+ C½ .
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax1+ By1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M1, M2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M1M2 прямую l или нет).
§5. Уравнение прямой в полярных координатах.
Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =½ON½ – его длина, a – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M(r, j) – произвольная точка прямой.
Тогда из DOMN находим
p = r·cos(a – j) или p = r·cos(j – a). (18)
Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.
Обратно, если координаты точки M(r, j) удовлетворяют (18), то DOMN – прямоугольный Þ MÎ l.
Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.
Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox OP. Уравнение (18) можно переписать так:
r cos j cos a + r sin j sin a – p = 0.
Согласно формулам перехода r·cos j = x, r·sin j = y Þ
x cos a + y sin a – p = 0. (19)
Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а a – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos2a + sin2a = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.
Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l1: p1 = r·cos(a1 – j), l2: p2 = r·cos(a2 – j). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l1 и l2, если они параллельны.
Пучок прямых.
Пусть две несовпадающие прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями:
l1: A1x + B1y + C1 = 0 ,
l2: A2 x + B2y + C2 = 0 .
Рассмотрим совокупность всех прямых, которые задаются различными уравнениями вида
(lA1+mA2) x + (lB1+mB2) y + lC1+ mC2 = 0, (20)
где l и m – числа не равные нулю одновременно. Это множество называется пучком прямых. Очевидно, при l = 1, m = 0 мы получим уравнение прямой l1, а при l = 0, m = 1 – уравнение прямой l2. Таким образом, прямые l1 и l2 тоже входят в пучок.
Теорема 4. 1.Если прямые l1 и l2 пересекаются в точке Mo, то определяемый ими пучок прямых, состоит из всех прямых, проходящих через Mo.
2. Если l1½½ l2 , то определяемый этими прямыми пучок состоит из всех параллельных им прямых.
Доказательство. 1.Перепишем (20) в виде
l(A1x + B1y + C1) + m(A2 x + B2 y + C2) = 0. (20¢)
Пусть Mo(xo, yo) = l1I l2. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Подставим ее координаты в (20¢):
l(A1xo+ B1yo+ C1) + m(A2 xo+ B2 yo+ C2) = 0.
Поскольку обе скобки должны быть равны нулю, то мы получаем верное равенство независимо от l и m. Таким образом, все прямые пучка (20) проходят через Mo.
Покажем, что в пучок входят все прямые, проходящие через Mo. Пусть M(x1, y1) – произвольная точка плоскости, отличная от Mo. Подставим ее координаты в (20¢) и обозначим
X= A1x1+ B1y1+ C1, Y = A2 x1+ B2 y1+ C2.
Получим уравнение
lX + mY= 0 (*)
относительно неизвестных l и m. Это уравнение всегда имеет решение (lo, mo). При l=lo и m=mo уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.
2. Пусть l1½½ l2 . Тогда выполнено
= = k .
Пусть l – произвольная прямая из пучка (20). Применим к ней признак параллельности с прямой l2:
= Û l + m = l + m Û lk + m = lk + m ,
т.е. имеем верное равенство. Значит l½½ l2 .
Покажем, что в пучок входят все прямые параллельные l1 и l2. Пусть M(x1, y1) – произвольная точка плоскости, не лежащая ни на l1 , ни на l2. Подставив ее координаты в (20¢) также получим уравнение (*) относительно неизвестных l и m , где X и Y оба ненулевые. При l и m , удовлетворяющих (*) уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.
Если все прямые пучка пересекаются в точке Mo, то точка Mo называется центром пучка, и пучок прямых называется собственным или центральным. Если все прямые пучка параллельны друг другу, то пучок называется нецентральным или несобственным.