Однополостной и двуполостной гиперболоиды
Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида
F1: + – = 1 (6) F2: + – = –1. (7)
Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые
+ = 1+ + = –1+ (*)
Обозначим соответственно
a¢2 = a2(1+ ) , b¢2 = b2(1+ ) ; a¢2= a2½ –1+ ½, b¢2= b2½ –1+ ½,
h ¹ ± c
при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы
+ = 1
полуоси которых a¢ и b¢ неограни- полуоси которых a¢ и b¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-
тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½ ; при ½ h ½< c
a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы
+ = –1 (Æ), а при h = ± c
(*) превращается в + = 0,
а это уравнение задает одну из
точек C1(0, 0, c) или C2(0, 0,– c).
В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые
– = 1– (**) – = –1–
Обозначим соответственно
a¢2 = a2½ 1– ½ , c¢2 = c2½ 1– ½ a¢2 = a2(1+ ) , c¢2 = c2(1+ ) .
и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы
+ = ±1, – + = 1.
а при h = ± b (**) превращается в
уравнение – = 0, которое задает
пару пересекающихся прямых.
Аналогично, в сечениях F2 плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F1 – гиперболы или пары прямых при h = ± a.
Прочие геометрические свойства гиперболоидов.
1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F1 в точках A1(a, 0, 0), A2(– a, 0, 0), B1(0,– b, 0), B2(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F2 в точках C1(0, 0, c), C2(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F2.
2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.
3.При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.
4.Пусть Fo – конус, заданный уравнением
Fo: + – = 0.
Пусть Mo(x, y, zo)Î Fo, M1(x, y, z1)Î F1, M2(x, y, z2)Î F2 – три точки с одинаковыми координатами x и y , лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда
zo2= c2( + ), z 12= c2( + –1), z 22= c2( + +1) Þ
½ z 12½ <½ zo2½ <½ z 22½ , а значит, F1 лежит снаружи конуса Fo, а F2 – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует zo2– z 12= z 22– zo2 = c2 Þ
Mo M1=½ zo– z1½ = ® 0 и M2 Mo=½ z2– zo½ = ® 0 ,
когда точки Mo, M1, M2 уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что zo, z1 и z2 все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.
 |  | ||||
 |
5.Мы уже видели, что в сечениях F1 плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F1 является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.