Тема. Равнобедренный треугольник

ЗАДАЧИ К БИЛЕТАМ ПО ГЕОМЕТРИИ

Тема. Смежные и вертикальные углы.

1.

А) Углы ABD и ABC смежные, луч ВО – биссектриса угла ABD. Найдите Ð ОBD, если ÐАВС = 40°.

Б) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки М, Р, К соответственно, так, что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что ÐМКР = 90°.

В) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и МВ пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС = CD = BD. Докажите, что АС=ОВ.

 

2.

А) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы.

Б) Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и Е соответственно; ÐDBE = 60°, ÐА = ÐС. Найдите угол, смежный с углом А.

B) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, причем ОА = OD. На отрезке AD отмечена точка Р, так что ÐСОР = ÐВОР. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника AOD принадлежит отрезку ОР.

 

3.

А) В треугольнике АВС ÐА = 20°, ÐВ = 100°. На стороне АВ отмечена точка D так, что ÐACD = 40°. Найдите углы треугольника BCD.

Б) В треугольнике АВС ÐА = 100°. Биссектрисы СС₁ и ВВ₁ пересекаются в точке D. Найдите угол BDC.

В) На окружности диаметром АВ взята точка С; ÐСАВ = 70°. Найдите ÐСВА и ÐАСВ.

Тема. Признаки равенства треугольников.

1.

А) В треугольнике АВС АВ = ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС. MD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что rAMD = rBHE.

Б) Даны равносторонние треугольники АВС и А₁В₁С₁. О и О₁ – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, ОА = О₁А₁. Докажите, что r АВС = r А₁В₁С_1.

В) На сторонах АВ, ВС, АС отмечены точки С₁, А₁, В₁ соответственно, так что отрезки СС₁, АА₁, ВВ₁ пересекаются в точке О. На отрезке ОС взята точка С₂, а на отрезках ОА и ОВ точки А₂ и В₂ соответственно; ОА₁ = ОА₂, ОВ₁ = ОВ₂, ОС₁ = ОС₂. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ при наложении совместятся.

 

2.

А) На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

Б) В равнобедренном треугольнике АВС BD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч BD – биссектриса угла MDH. Докажите, что АМ = НС.

В) В треугольнике АВС на высоте BD отмечена точка О; ÐOAD = ÐOCD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС.

 

3.

А) В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что rАМК = rКНС.

Б) Даны треугольники АВС и А₁В₁С₁ с высотами СD C₁D₁, ÐB = ÐB₁ = 45°, CD = C₁D₁, AB = A₁B₁. Докажите, что rАВС = rА₁В₁С_1.

В) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н. Отрезки АН и МС пересекаются в точке D; MD = DH, ÐHAC = ÐMCA. Можно ли совместить наложением отрезки ВМ и ВН?

Тема. Сумма углов треугольника.

1.

А) В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.

Б) В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна а. Найдите боковую сторону.

В) Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е. ÐМКА = 140°, ÐМЕС = 130°, ÐА = 60°, ÐС = 80°. Найдите ÐКМЕ.

 

2.

А) В треугольнике АВС ÐА = 20°, ÐВ = 100°. На стороне АВ отмечена точка D так, что ÐАСD = 40°. Найдите углы треугольника BCD.

Б) В треугольнике АВС ÐА = 100°. Биссектрисы СС₁ и ВВ₁ пересекаются в точке D. Найдите угол BDC.

В) На окружности с диаметром АВ взята точка С; ÐСАВ = 70°. Найдите ÐСВА и ÐАСВ.

Тема. Равнобедренный треугольник.

А) Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.

Б) В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота BD равна 8 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 24 см.

В) В треугольнике АВС внешние при вершинах углы А и С равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника АВС равен 36 дм, а периметр треугольника ABD равен 24 дм.