Определенный интеграл и его приложения»
Воронеж
Утверждено научно-методическим советом
Математического факультета 28.05.03.
Составитель: Каплан А.В.
Практикум подготовлен на кафедре теории функций и геометрии
математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса биолого-почвенного факультета
(отделение агрохимии и почвоведения).
От составителя.
Настоящий практикум содержит условия контрольных работ по курсу «Высшая математика» для студентов 1 курса отделения агрохимии и почвоведения биолого-почвенного факультета.
В течение учебного года студенты выполняют 6 контрольных работ: работы №№ 1 – 3 выполняются в первом семестре, работы №№ 4 – 6 – во втором.
Номера «своих» вариантов студенты узнают на практических занятиях. Для более полного и глубокого усвоения учебного материала рекомендуется выполнить несколько заданий из «чужих» вариантов.
Каждое задание должно быть выполнено на отдельном одинарном листе, все задания вкладываются в двойной лист, на первой странице которого студент указывает фамилию и имя, номер группы и номер своего варианта. Кроме того, на этой странице заготавливается решетка для оценок (первая строка – номера заданий, вторая – пустые клетки для оценок).
Образец:
Выполнение всех работ на оценку не ниже 3,0 необходимо и достаточно для получения зачета в первом семестре и допуска к экзамену – во втором.
Желаю успеха!
А.В.Каплан.
Контрольная работа №1
Аналитическая геометрия».
Задание 1. Прямая линия.
Дано уравнение прямой и точка М(х0;у0).
1) Найти расстояние от точки М до прямой .
2) Привести уравнение прямой к виду в отрезках.
3) Найти площадь S треугольника, отсекаемого прямой на осях
координат.
4) Написать уравнение прямой ^, проходящей через точку М и
перпендикулярной .
5) Найти точку P пересечения полученной прямой ^ и прямой .
| Номер | Уравнение прямой | Точка М(х0;у0) |
| 1. | 2х + у + 1 = 0 | М ( 2; 1) |
| 2. | х – 2у + 1 = 0 | М ( –1; 2) |
| 3. | 2х – у + 1 = 0 | М ( 2; –1) |
| 4. | х + у + 1 = 0 | М ( 1; 1) |
| 5. | х – у + 1 = 0 | М ( 1; –1) |
| 6. | х +2у + 1 = 0 | М ( 1; 2) |
| 7. | х – у – 1 = 0 | М ( –1; –1) |
| 8. | х + у – 1 = 0 | М ( –1; 1) |
| 9. | х + 2у – 1 = 0 | М ( 1; –2) |
| 10. | 2х – у – 1 = 0 | М ( 2; 2) |
Задание 2. Окружность.
Дано уравнение окружности.
1) Привести это уравнение к каноническому виду.
2) Найти координаты центра.
3) Найти радиус.
4) Найти точки пересечения окружности с осью абсцисс.
5) Найти точки пересечения окружности с осью ординат.
| Номер | Уравнение окружности | Номер | Уравнение окружности |
| 1. | х2 + у2 – 2х + 2у – 1 = 0 | 6. | х2 + у2 – 10х – 6у + 33 = 0 |
| 2. | х2 + у2 – 4х – 2у + 1 = 0 | 7. | х2 + у2 – 8х + 6у = 0 |
| 3. | х2 + у2 – 4х + 2у + 1 = 0 | 8. | х2 + у2 – 2х – 4у + 1 = 0 |
| 4. | х2 + у2 – 2х + 2у + 1 = 0 | 9. | х2 + у2 – 4х + 4у + 4 = 0 |
| 5. | х2 + у2 + 2х + 4у + 1 = 0 | 10. | х2 + у2 + 2х + 2у + 1 = 0 |
Задание 3. Эллипс.
Известно, что точка М ( х0; у0 ) принадлежит эллипсу, заданному в канонической системе координат. Кроме того, задано еще некоторое дополнительное условие.
1) Составить каноническое уравнение эллипса.
2) Определить параметры a, b, c эллипса.
3) Найти координаты фокусов и вычислить эксцентриситет.
4) Написать уравнения директрис.
5) Найти фокальные радиусы данной точки М.
| Номер | Точка М(х0;у0) | Дополнительное условие |
| 1. | М (2;  )
| 
|
| 2. | М (–  ; 2)
| 
|
| 3. | М (8; 12) | | MF1 | = 20 |
| 4. | М (  ;–1)
| | F1F2 | = 8 |
| 5. | М ( 4; –  )
| точка N (2  ; 3) Î эллипсу
|
| 6. | М ( 2; –2) | а = 4 |
| 7. | М (–2 ; 2)
| b = 3 |
| 8. | М ( ;  )
| F1 (–1; 0) |
| 9. | М (4;  )
| F2 (3; 0) |
| 10. | М ( 2; )
|
|
Задание 4. Гипербола.
Дано каноническое уравнение гиперболы.
1) Найти полуоси.
2) Определить координаты фокусов.
3) Вычислить эксцентриситет.
4) Написать уравнения асимптот.
5) Написать уравнения директрис.
| Номер | Уравнение гиперболы | Номер | Уравнение гиперболы |
| 1. | 
| 6. | 
|
| 2. | 
| 7. | 
|
| 3. | 
| 8. | 
|
| 4. | 
| 9. | 
|
| 5. | 
| 10. | 
|
Задание 5. Парабола.
В некоторой системе координат задано уравнение параболы.
1) Определить координаты вершины и указать направление оси.
2) Найти величину параметра.
3) Определить координаты фокуса.
4) Написать уравнение директрисы.
5) Найти точки пересечения параболы с осями координат.
| Номер | Уравнение параболы | Номер | Уравнение параболы |
| 1. | у2 – 4х – 6у + 29 = 0 | 6. | у2 – 6х + 14у + 49 = 0 |
| 2. | х2 + 2х + у = 0 | 7. | у2 + 8х – 16 = 0 |
| 3. | у2 – х – 6у – 8 = 0 | 8. | х2 – 6х – у + 8 = 0 |
| 4. | у2 – 10х – 2у – 19 = 0 | 9. | у2 + х – 2у – 3 = 0 |
| 5. | х2 – 2х + у – 3 = 0 | 10. | у2 + х + 2у = 0 |
Контрольная работа №2
Пределы».
Задание 1.
Вычислить пределы и доказать правильность вычислений на «языке e – N ».
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание 2.
Вычислить пределы:
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание 3.
Вычислить пределы:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Задание 4.
Вычислить пределы:
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание 5.
Вычислить пределы:
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Контрольная работа №3
Производные».
В заданиях 1. – 5. вычислить производные указанных функций.
Задание 1. Задание 2.
1. 
. 1. 
.
2. 
. 2. 
.
3. 
. 3. 
.
4. 
. 4. 
.
5. 
. 5. 
.
Задание 3.\ Задание 4.
1. 
. 1. 
.
2. 
. 2. 
.
3. 
. 3. 
.
4. 
. 4. 
.
5. 
. 5. 
.
Задание 5.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
.
Контрольная работа №4
Исследование функций».
Задание 1.
Считая известными графики элементарных функций, построить графики указанных сложных функций.
1. y = e arc tg x . 2. y = ln (cos x) .
3. y = e cos x . 4. y = ln (sin x) .
5. y = e 
. 6. y = 
.
7. 
. 8. 
.
9. y = 2 
. 10. 
.
Задание 2.
Найти асимптоты графиков следующих функций.
1. y = 
. 2. y = 
.
3. y = 
. 4. 
.
5. y = 
. 6. y = 
.
7. 
. 8. 
.
9. y = 
10. y = 
.
Задание 3.
Найти промежутки монотонности и экстремумы следующих функций (рассмотреть промежуток [ – p; p ] ).
1. y = sin x + cos x . 2. y = sin x + cos x .
3. y = sin x – cos x . 4. y = cos 2x – 2sin x .
5. y = sin x + cos 2x . 6. y = cos x – sin x.
7. y = sin x + cos x . 8. y = sin x – 
cos 2x .
9. y = cos x + cos 2x . 10.y = sin x – cos x .
Задание 4.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций.
1. 
. 2. y = e 
.
3. y = х 2 ln x . 4. y = x е – х .
5. 
. 6. y = ( 1 + х 2 ) е х .
7. y = х ln 2 x. 8. y = х 3 е – х .
9. y = 
. 10. y = е х( х 2 – 2x + 2 ) .
Задание 5.
Исследовать функции и построить графики.
1. у = 2х 3 – 9х 2 + 12x – 5 . 2. у = 2х 3 + 15х 2 + 36x – 53 .
3. у = х 3 – 12x + 11 . 4. у = х 3 – 3х 2 – 9x – 11 .
5. у = 2х 3 – 9х 2 + 7 . 6. у = 2х 3 + 9х 2 + 12x – 23 .
7. у = 2х 3 – 15х 2 + 36x – 23 . 8. у = х 3 – 3x + 2 .
9. у = х 3 + 3х 2 – 9x + 5 . 10. у = 2х 3 + 9х 2 – 11 .
Контрольная работа №5
Неопределенный интеграл».
В заданиях 1. – 5. вычислить интегралы.
Задание 1.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Задание 2.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Задание 3.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Задание 4.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Задание 5.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Контрольная работа №6
Определенный интеграл и его приложения».
Задание 1.
Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок.
1. 
2. 
3. 4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2.
Вычислить интегралы.
1. 
2. 
3. 
4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
8. 
9. 
. 10. 
.
Задание 3.
Вычислить несобственные интегралы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями.
1. 
; y = x; x = 0 .
2. 
; y = 2 – x; y = 0 .
3. ; y = x + 2.
4. 
; y = 3x – 1.
5. 
; y = x .
6. 
; y = 2(1 – x); x = 0
7. 
; y = 4(x – 2); y = 0 .
8. 
; y = 3x .
9. 
; y = 10 – x .
10. 
; x + y = 
.
Задание 5.