Для студентов I курса заочной формы обучения

Далее ⇒

Государственный университет по землеустройству

Кафедра высшей математики и физики

Высшая математика

Контрольные задания для самостоятельной работы

Для студентов I и II курсов

«Заочного факультета»

Москва 2008

УДК 51

Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей математики и физики Государственного университета по землеустройству (протокол № 10 от 28.08.2008 г).

Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики МЭИ доктор физико-математических наук профессор Петрушко И.М.

Авторы:

д.ф.-м.н. профессор Соловьёв И.А.,

к.ф.-м.н. доцент Хасанов А.А.,

к.ф.-м.н. доцент Червяков А.В.,

к.ф.-м.н. доцент Романов В.И.,

к.ф.-м.н. доцент Репин А.Ю.

Общие указания

Предлагаемая работа содержит контрольные задания по программе первого и второго курсов высшей математики (линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика) для студентов «Заочного факультета» всех специальностей. В пособии приведен образец решения одного варианта.

Выполнение студентами контрольных заданий является одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к экзамену. Каждое контрольное задание выполняется в отдельной тетради и предъявляется преподавателю для защиты.

К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.

Каждый студент выполняет контрольные задания в соответствии со своим вариантом(номер варианта определяется последней цифрой номера студенческого билета или зачетной книжки).

Программа по курсу «Высшая математика»

для студентов I курса заочной формы обучения

Лекции – 18 часов.

Практические занятия –18 часов.

Контрольная работа.

Всего часов 36.

№ п/п	Тема занятия	Кол. часов
Лекции
1.	Определители 2,3-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей. Правило Крамера. Метод Гаусса. Обратная матрица. Матричный метод решения систем квадратных линейных алгебраических уравнений.
2.	Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов, свойства. Прямая линия на плоскости и ее уравнения. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.
3.	Предел функции и его геометрический смысл. Вычисление пределов с помощью таблицы основных эквивалентных бесконечно малых функций. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций.
4.	Производная функции в точке. Правила нахождения производной суммы, разности, произведения и отношения функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции; функции, заданной параметрически; неявной функции. Первый дифференциал.
5.	Критерий монотонности дифференцируемых функций. Необходимое и достаточное условие экстремума. Критические точки первого рода. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Общая схема исследования функций и построения графиков.
6.	Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложение на простейшие дроби. Интегрирование тригонометрических функций.
7.	Определение и основные свойства определенного интеграла. Производная по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Применение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и площадей поверхностей вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства.
8.	Область определения, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент.
9.	Понятие числового ряда. Частичные суммы. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: интегральный признак Коши-Маклорена; признаки сравнения («эталонные» ряды); радикальный признак Коши; признак Даламбера. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Практические занятия
1.	Определители 2,3-го порядка и их свойства. Способы вычисления определителей. Решение СЛУ (по лекции №1).
2.	Векторы (скалярное, векторное, смешанное произведения). Элементы аналитической геометрии (по лекции №2).
3.	Вычисление пределов с помощью таблицы основных эквивалентных бесконечно малых функций. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций (по лекции №3).
4.	Нахождение производных. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции; функции, заданной параметрически; неявной функции. Первый дифференциал (по лекции №4).
5.	Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба. Общая схема исследования функций и построения графиков (по лекции №5).
6.	Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложение на простейшие дроби. Интегрирование тригонометрических функций (по лекции №6).
7.	Формула Ньютона-Лейбница. Применение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и площадей поверхностей вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (по лекции №7).
8.	Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент (по лекции №8).
9.	Понятие числового ряда. Частичные суммы. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: интегральный признак Коши-Маклорена; признаки сравнения («эталонные» ряды); радикальный признак Коши; признак Даламбера. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница (по лекции №9).

Рекомендуемая литература

1. В.С. Щипачев. Высшая математика (учебник). М.: Высшая школа 1998.

2. В.С. Щипачев. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа 2000.

3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1 и 2. М.: Наука. 1970-1978.

4. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука. 1974.

5. Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука. 1965-1975.

6. В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М.: Наука. 1986.

Вариант №1

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение гиперболы в канонической системе координат, если в ней расстояние между вершинами –10, а расстояние между фокусами 12.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №2

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение гиперболы в канонической системе координат, если эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №3

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение гиперболы в канонической системе координат, если уравнения директрис , а точка принадлежит гиперболе.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №4

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если расстояние между вершинами на большой полуоси равно 16, а расстояние между фокусами равно 10.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №5

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если фокусы эллипса , а уравнения директрис .

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и , .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №6

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины на оси 8.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии .

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

, , .

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость .

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №7

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если расстояние от фокуса до директрисы равно 12.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии .

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

, и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №8

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если длина хорды, проходящей через фокус под углом 45⁰ к оси параболы, равна 18.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии .

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

, .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №9

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение параболы в канонической системе координат, если парабола проходит через точку .

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии .

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

, и .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Вариант №10

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Задача №2

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений при всех действительных значениях параметра

Задача №3

Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если фокусами эллипса являются точки , а точка принадлежит эллипсу.

Задача №4

Вычислить пределы

а) ; б) .

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Задача №6

а) ; б) .

Задача №7

Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Задача №8

Найти экстремумы функции

при условии .

Задача №9

Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница

а) ; б) ; в) .

Задача №10

Вычислить площадь, заключенную между линиями

, .

Задача №11

Найти длину дуги кривой

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

Решение примерного варианта

Задача №1

Точки , , и являются вершинами тетраэдра.

1. Поверить, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2. Найти:

– объём тетраэдра;

– длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ;

– расстояние между скрещивающимися рёбрами и ;

– уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение

Найдём координаты векторов:

, , .

следовательно, точки не лежат в одной плоскости.

Объём тетраэдра:

Площадь основания тетраэдра :

Длина искомой высоты .

Расстояние между скрещивающимися рёбрами и :

Далее ⇒