Порядок построения теоретической кривой

СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ И КАЧЕСТВА СБОРКИ

 

Все первичные погрешности, возникающие при механической обработке на станках можно представить как случайные и систематические.

Систематические погрешности (упругие отжатия, тепловые деформации, размерный износ и другие) возможно прогнозировать по соответствующим аналитическим и эмпирическим зависимостям.

Случайные погрешности (неравномерность снимаемого припуска, разброс по твердости материала обрабатываемой партии и другие) возможно учитывать лишь на основе методов теории вероятности и математической статистики.

В технологии машиностроения нашли применение следующие законы распределения, учитывающие возникающие погрешности:

Закон нормального распределения (распределение Гаусса);	Закон равномерного возрастания,
Закон распределения Симпсона (закон треугольника);	Закон эксцентриситета
Закон равной вероятности
Рисунок 4.1. Примеры основных законов распределения

В практике может наблюдаться также и композиция (сочетание) различных законов распределения. Но чаще всего имеет место нормальный закон распределения.

 

Точечные и точностные диаграммы.

 

Если технологический процесс или операция являются достаточно стабильными и, влияние всех первичных погрешностей имеет примерно один порядок - для учета и анализа наилучшим образом подходит нормальный закон распределения (закон Гаусса), описывающий поведения различных случайных величин, к которым в совокупности может быть отнесен в том числе и размер детали после механической обработки.

Наиболее простым подходом к оценке точности обработки является подход основанный на использовании точечных или точностных диаграмм.

В этом случае, по оси абсцисс показывают № измерения (или № измеренной детали), а по оси ординат - значение контролируемого параметра (фактический размер соответствующей детали); также показывают верхнюю и нижнюю границы поля допуска.

Рисунок 4.2.Точечная диаграмма

В том случае, если на одном графике приведены несколько точечных диаграмм, тогда ее называют точностной, так как она периодически (через определенные интервалы времени) дает информацию о фактической точности. Величина объема выборки для точечных диаграмм - не превышает 20 измерений (обычно до 7-10).

 

Закон Гаусса.

 

При анализе технологических процессов по точности изготовления деталей допуск по чертежу сравнивается с полем рассеяния . Величина же поля рассеивания зависит от вида закона распределения.

Рисунок 4.3 Схема нормального распределения и поле допуска на выдерживаемый размер

 

Законы распределения характеризуют плотностью распределения вероятностей и параметрами распределения: средним значением и среднеквадратическим отклонением, обозначаемым через (или ).

Плотность вероятностей для нормального распределения описывается уравнением Лапласа:

,

где - параметр распределения;

- переменная (случайная) величина;

- среднеарифметическое отклонение (центр группирования);

- среднеквадратичное отклонение случайной величины;

Рисунок 4.4 Параметры нормального закона распределения

 

Величину площади, ограниченной кривой нормального распределения и концами отрезка , можно определить по формуле:

- интеграл (функция) Лапласа

Площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна:

Кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс. Однако на расстоянии от вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в этих пределах находится 99,73% площади, ограниченной кривой и осью абсцисс:

При практическом использовании нормального распределения считают, что вся площадь сосредоточена на расстоянии . При этом допускается погрешность равная 0,27%.

Тогда поле рассеивания будет равно , то есть (или 100%).

 

Порядок построения теоретической кривой.

 

Статистический метод с применением закона Гаусса позволяет на основе выборки (например, N=20-50 штук и более) прогнозировать точность обработки всей обрабатываемой партии деталей.

Графическая иллюстрация закона нормального распределения (закона Гаусса) представлено выше, а его математическое выражение характеризуется зависимостью

где Ф (x) - плотность вероятности

x - переменная (случайная) величина;

- среднеарифметическое отклонение (центр группирования);

- среднеквадратичное отклонение случайной величины xiот x;

e - основание натурального логарифма;

Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются в основном двумя параметрами x и , которые являются первыми из пяти статистических характеристик.

Среднее арифметическое

среднее-квадратичное отклонение

 

коэффициент вариации, характеризующий нестабильность исследуемого технологического процесса.

коэффициент относительной ассиметрии, характеризующий тенденцию к смещению центра группирования влево ( ) или вправо ( ),

коэффициент эксцесса, характеризующий тенденцию кривой распределения к смещению вверх ( ) или вниз ( ) вдоль оси ординат

.

При анализе технологических процессов (ТП) или отдельных операций, указанные характеристики по данным выборки (Nв=20...50) принимают за истинные характеристики всей партии обрабатываемых заготовок или собираемых изделий (узлов). Если же одна из первичных погрешностей преобладает над остальными (удельный вес ее значительно больше остальных), тогда будет иметь место другой закон распределения случайных величин.

Порядок расчета следующий.

На основе выборки (Nв) из всей партии обрабатываемых заготовок

(например, Nв = 20 шт. x1 = 8,02; 8,03;...; 8,14) определяется диапазон рассеивания (размах).

R = Xmax - Xmin ,

R = 8,14 - 8,02 = 0,12

который разбивается на кассы (интервалы), а их число определяется по правилу Штюргерса

K = 1 + 3,32 ln (Nв) (принимается K= 6...10).

Размер одного интервала

C = R/K ,

C = 0,12/6 = 0,02. (19)

В таблицу заносятся параметры интервалов, абсолютная частота (mi) появления контролируемого параметра в каждом из них и другие сведения.

Таблица значений распределения

Интервалы размеров от и до (включительно)	Середина интервала, Хс	Абсолютная частота,mi	Относительная частота, ni=mi/Nв
8,02 ... 8,04	8,03		0,05
8,04 ... 8,06	8,05		0,2
8,06 ... 8,08	8,07		0,35
8,08 ... 8,10	8,09		0,25
8,10 ... 8,12	8,11		0,1
8,12 ... 8,14	8,13		0,05

 

Данные таблицы представляются в виде гистограммы или фактического распределения, а затем определяются основные статистические характеристики нормального закона распределения.

Рисунок 4.5 Гистограмма и фактическая кривая распределения

 

Для построения теоретической кривой распределения необходимо выделить «точки перегиба:

максимальную ординату

0,4/ ,

ординаты точек перегиба при X=+2 и X=-2

Y = 1/ е 0,242/ ,

Y = 1/ 0,054/ ,

а также теоретическое поле рассеивания при y=0

X =

Для приведения теоретической кривой к масштабу графика зависимости следует умножить на масштабный коффициент сNв, и затем и вычертить ее, совместив на одном графике фактическую кривую с теоретической.

После построения графиков необходимо в масштабе нанести на них верхнюю (ES) и нижнюю (EJ) границы поля допуска, что позволяет визуально оценить возможный процент брака для всей исследуемой партии.

Рисунок 4.6 Теоретическая кривая распределения.

 

Далее необходимо выполнить проверку гипотезы о нормальности распределения, например, вычислением среднего абсолютного отклонения (САО).

САО = Xкрит. - /Nв,

где Xкрит- критическое (вызывающее сомнение) значение случайной величины Xi. В практических расчетах обычноограничиваются проверкой максимального и минимального значений из выборки.

Условие нормального распределения

в

В этом случае, если условие нормальности не выполняется, следует исключить из выборки Xкрит. и вновь произвести расчеты всех статистических характеристик , , , . Если и после второй проверки распределение не соответствует нормальному закону, необходимо дальнейшие расчеты прекратить.

Если условие нормальности подтверждается, необходимо перейти к вычислению процента возможного брака, если нет - ограничиться построением гистограммы.