Примеры решения системы ОДУ Ван-дер-Поля

Примеры нелинейных динамических систем

1.1.1. Система Ван дер Поля.

1.1.2. Исследование поведения системы.

1.1.3. Бифуркация рождения цикла.

1.1.4. Система Ван дер Поля с периодическим возмущением.

1.4. Система Лоренца.

1.4.1. Вид системы Лоренца

1.4.2. Исследование на неподвижные точки.

1.4.3. Численное исследование динамики системы Лоренца.

1.4.4. Странный аттрактор.

Нелинейная система с предельным циклом (система Ван дер Поля)

Динамика осциллятора Ван дер Поля при w² = 2 и c = 1

Предельный цикл – устойчивый режим периодических колебаний в нелинейных системах после завершения переходных процессов

Демонстрация динамики

Начальная точка вне предельного цикла.

Начальная точка внутри предельного цикла.

Примеры решения системы ОДУ Ван-дер-Поля

Покажем применение решателя ОДУ ode15s на ставшем классическим примере – решении нелинейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Ван-дер-Поля), записанного в виде системы из двух дифференциальных уравнений:

y'₁ =y₂;

y'₂ = m*(1–y₁²)*y₂–y₁

при начальных условиях

y₁(0)=0; y₂(0)=1.

Это уравнение описывает колебания в нелинейной системе второго порядка, например в LC-генераторе на электронной лампе или полевом транзисторе, и является классическим примером математического моделирования этих устройств. Поведение системы Ван-дер-Поля существенно зависит от параметра m, который задает степень влияния нелинейности на возникновение и развитие колебаний. При больших m представленная система ОДУ является жесткой. Возьмем значение μ=100.

Перед решением нужно записать систему дифференциальных уравнений в виде ODE-функции. Для этого в главном меню выберем File ⇒ New ⇒ MMFile и введем

function dydt = vdp100(t,y)

dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2);

dydt(2) = 100*(1 – y(1)^2)*y(2) – y(1);

Сохраним данный m-файл-функцию.

Тогда решение решателем ode15s и сопровождающий его график (рис. 8.5) можно получить, используя следующие команды:

>> [T,Y]=ode15s(@vdp100,[0 30],[2 0]); plot(T,Y)

>> hold on; gtext('y1'), gtext('y2')

Последние команды позволяют с помощью мыши нанести на графики решений y1 = y(1) и y2 = y(2) помечающие их надписи.

Рис. 8.5. Пример решения системы дифференциальных уравнений

численным методом

Рассмотрим еще один пример решения уравнения Ван-дер-Поля вида y''1 = 2*(1–y12)*y1–y'1 при m = 2. Оно сводится к следующей системе уравнений:

y'1 = y2,

y'2 = 2*(1–y12)*y1–y2.

Подготовим m-файл ode-функции vdp.m:

function [out1,out2,out3] = vdp(t,y,flag)

if nargin < 3 | isempty(flag)

out1 = [2.*y(2).*(1-y(2).^2)-y(1); y(1)];

else

switch(flag)

case 'init' % Return tspan, y0 and options

out1 = [0 20];out2 = [2; 0]; out3 = [ ];

otherwise

error(['Unknown request ''' flag '''.']);

end

Тогда решение системы с помощью решателя ode23 реализуется следующими командами:

>> [T,Y] = ode23(@vdp,[0 20],[2 0]);

>> plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.')

График решения для последнего примера показан на рис. 8.6. Нетрудно заметить, что в данном случае переходные процессы имеют затухающий характер и генерации периодических колебаний нет.

Рис. 8.6. Пример решения системы ОДУ

Бифуркация

Изменение параметра, который называется управляющим, вызывает потерю устойчивости одного состояния (или режима функционирования) системы и переход к другому, качественно отличному от прежнего, состоянию (режиму функционирования). Это явление называется бифуркацией (раздвоением), а значение параметра, при котором это происходит – точкой бифуркации. Графическое отображение зависимости характера поведения системы от параметра, носит название бифуркационной диаграммы.