Указания по подбору сечения. Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток)

 

Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток). Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учётом сортамента пиломатериала. Цель расчёта – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчётного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки.

 

Задание

Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1.

 


Таблица 4.1

Исходные данные

к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента

 

Номер задания Длина l, м Расчётная поперечная нагрузка (нормативная - 70 % от расчётной)* Расчётная сила сжатия N, кН Предельная гибкость Предельный относительный прогиб, [f / l]
q, кН/м Р, кН
5,0 - 3,61 37,20 1/250
4,0 5,37 - 81,00 1/200
3,5 7,26 - 149,57 1/250
5,5 - 4,00 118,00 1/300
4,6 5,40 - 95,80 1/250
4,5 - 15,20 130,00 1/200
4,3 7,20 - 131,00 1/300
3,2 10,70 - 228,30 1/250
4,0 8,40 - 84,37 1/200
4,5 3,95 - 81,50 1/250
4,0 - 5,12 37,20 1/300
3,0 - 18,78 168,75 1/250
4,5 - 15,20 131,25 1/200
3,8 - 17,80 95,80 1/250
4,4 4,96 - 97,00 1/200
5,0 2,00 - 56,00 1/300
4,0 - 10,75 149,50 1/300
4,5 2,70 - 56,00 1/200
2,9 - 20,40 157,50 1/250
4,8 - 5,48 107,30 1/200
5,2 3,00 - 95,60 1/200
3,5 5,10 - 56,00 1/250
4,0 7,66 - 196,80 1/300
4,5 - 8,55 149,50 1/250
3,5 10,50 - 123,70 1/200
5,5 - 10,50 59,40 1/300

* q – равномерно распределённая нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролёта

 

4.5. Пример расчёта

 

Исходные данные

Стержень из древесины лиственницы 2-го сорта длиной l = 5,5 м не имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчётных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролёта Р = 10,5 кН = 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70 % от расчётной. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А1; установившаяся температура воздуха < 35ºС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной > 0,8.

 

Решение

1. Подберём сечения по прочности. Задаёмся размерами сечения по сортаменту 0,15×0,25 м. Расчётное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны 2-го сорта = 15 МПа. Определяем значение расчётного сопротивления с учётом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надёжности по сроку службы.

МПа.

МПа.

Изгибающий момент от расчётной нагрузки

М = Pl / 4 =10,5·5,5 / 4 = 14,43 кН·м = 0,01443 МН·м.

Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам:

F = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 м2;

м3.

Расчётная длина и гибкость элемента в плоскости изгиба

l0 = 5,5 м;λ = l0/ 0,289h = 5,5 / 0,289·0,25 = 76,1 < λ пр = 150.

По формуле (4.3) определяем коэффициент

.

По формуле (4.4) определяем коэффициент

kα = αn+ ξ(i - αn)= 1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047.

Момент с учётом деформаций

МН·м.

По формуле (4.1) проверяем условие прочности

МПа.

2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба.

Расчётная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие:

l0y = 5,5 м; λy = l0y / 0,289b = 5,5 / (0,289·0,15) = 126,8 > 70,

но < λпр = 150.

Так как λy > 70, то φ определяем по формуле (2.4)

φy = 3000 / (λy)2 = 3000 / 126,82 = 0,187.

Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2)

МПа.

3. Делаем расчёт на прочность по скалыванию.

Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р / 2 = 0,0105 / 2 = 0,00525 МН.

С учётом влияния продольной силы по формуле (4.5)определим Qд = Q / ξkα=0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН.

Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид

t = 1,5Q / (h·bрас),

тогда

t = 1,5×0,00636 / (0,25×0,15) = 0,254 МПа < Rск = 1,6 МПа.

4. Проверка прогиба.

Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна

Рn = 0,7Р = 0,7×0,0105 = 0,00735 МН.

Модуль упругости Е = 104 МПа.

Момент инерции I = bh3 / 12 = 0,15·0,253 / 12 = 19531·10-8 м4.

Прогиб без учёта деформаций сдвига равен (табл.4, прил. 1):

м.

Прогиб с учётом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициенты с и k приняты по табл. Е3 прил. Е [1].

м.

Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба:

.

 



ющая ⇒