Применение второго замечательного предела
В финансовых вычислениях
При начислении сложных процентов один раз в год справедлива формула
,
где 
- сумма первоначального долга, 
- сумма погашаемого долга,
n - срок долга в годах, i - годовая процентная ставка.
Если проценты начисляются m раз в год по годовой процентной ставке j, то находится по формуле
.
В долгосрочных финансовых операциях и в теоретических исследованиях используют так называемое непрерывное начисление процентов. В этом случае проценты начисляются за каждый бесконечно малый промежуток времени и добавляются к сумме для начисления процентов на каждом следующем бесконечно малом промежутке времени. Найдем формулу для начисления наращенной суммы долга S(n) в этом случае
,
где 
- процентная ставка при непрерывном начислении процентов, которая называется силой роста.
Пример 1.10. На сумму 10000 руб. в течение двух лет (n = 2) банк начислял сложные проценты по годовой процентной ставке j = 0,10. Найти наращенную сумму, если проценты начислялись:
1) ежеквартально (m = 4); 2) ежедневно (m = 365); 3) непрерывно (m ®¥).
Находим
руб.
руб.
руб.
Сравнение бесконечно малых функций
1. Сравнить бесконечно малые функции 
и 
значит найти предел их отношения 
.
2. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.
Пример 1.11. Сравнить бесконечно малые функции
и 
.
Находим, 
не существует. Следовательно, бесконечно малые функции и несравнимые.
3. Бесконечно малые функции называются одного порядка малости, если предел их отношения равен отличной от нуля конечной величине.
, где 
.
Пример 1.12. Сравнить бесконечно малые функции
и 
при х ® 2.
Находим 
.
Следовательно, бесконечно малые функции и одного порядка малости.
4. Бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.
~ .
5. Бесконечно малая функция называется более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой , если предел их отношения равен нулю
.
Запись = о( ) означает, что более высокого порядка малости по сравнению с . (Здесь в записи используется о – буква «о» маленькая).
Пример 1.13. 
, 
.
6. Бесконечно малая функция называется n-го порядка малости по сравнению с , если 
, где .
Пример 1.14. Определить порядок малости 
по сравнению с x при 
.
Находим
.
Следовательно, бесконечно малая функция 2-го порядка малости по сравнению с x.
Теорема 1.10. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.
, где 
~ 
, 
~ 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ~ , ~ , получаем
.
Пример 1.16. Найти предел 
.
Так как sin3x ~ 3x и tg5x ~ 5x, то 
.
Непрерывность функции в точке и на отрезке