Построение таблиц истинности для логических функций
Логическая функция – это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений 
.
Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой – соответствующие значения логической функции.
При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.
Алгоритм построения таблицы истинности
1.Определить количество наборов входных переменных – всевозможных сочетаний значений переменных, входящих в выражения, по формуле: 
, где 
– количество входных переменных. Оно определяет количество строк таблицы.
2.Внести в таблицу все наборы входных переменных.
3.Определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
4.Определить количество столбцов таблицы, равное сумме количества переменных и количества операций.
5.Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности.
Пример. Построить таблицу истинности для логической функции 
.
Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (А, В, С). Значит, количество входных наборов 
.
Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений А, В, С, промежуточных результатов 
и 
, а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения 
.
| Таблица 9 | |||||
| 
| 
|
|
|
|
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: 1 и 0.
Электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока, стали называть логическими элементами.
Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал.
Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход (рис. 1).
Рис. 1. Инвертор.
| 
Рис. 2. Дизъюнктор.
| 
Рис. 3. Конъюнктор.
|
Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа (рис. 2).
Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа (рис. 3).
В логических системах применяются универсальные логические операции, реализуемые базовыми элементами. Они включают две следующие разновидности:
1. Функция Шеффера. Отражает операцию И-НЕ, обозначается символически вертикальной черточкой | – штрих Шеффера (рис. 4).
Рис. 4. Операция И-НЕ.
| 
Рис. 5. Операция ИЛИ-НЕ.
|
Для простейшей функции двух переменных
и 
получают: 
| Таблица 10 | ||
|
|
| 
|
2. Функция Пирса. Отражает операцию ИЛИ-НЕ, обозначается символически вертикальной стрелкой ¯ – стрелка Пирса (рис. 5).
Для простейшей функции двух переменных и получают:
| Таблица 11 | ||
|
|
| 
|
Задания для выполнения
1. По заданной логической схеме составить логическое выражение и выполнить для него таблицу истинности.
2. По заданному логическому выражению составить логическую схему и построить таблицу истинности:
а) A и B или не C;
b) не (A и не B) или C.
3. Построить таблицу истинности для логической функции:
а) 
;
b) 
.
4. Найти 
; 
; 
; 
если 
, 
.
5. Найти 
, если , 
, 
.
6. Высказывание A – «Алгебра логики изучает высказывания»; высказывание В – «Сумма углов треугольника равна 
». Конъюнкцией этих высказываний ( 
) является предложение:
а) «Если алгебра логики изучает высказывания, то сумма углов треугольника равна »;
b) «Алгебра логики изучает высказывания тогда и только тогда, когда сумма углов треугольника равна »;
c) «Алгебра логики изучает высказывания, или сумма углов треугольника равна »;
d) «Алгебра логики изучает высказывания, и сумма углов треугольника равна ».
Контрольные вопросы
1. Что называется логикой, формальной логикой?
2. Основные формы мышления.
3. Логические операции (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция).
4. Математическая логика.
5. Построение таблиц истинности для логических функций.
6. Функция Шеффера.
7. Функция Пирса.
8. Алгоритм построения таблицы истинности.
9. Инвертор, конъюнктор, дизъюнктор.