Занятие 1. Операции над множествами
Множество — одно из основных понятий современной математики, с которым каждый человек знаком со школьной скамьи. «Множество решений уравнения или неравенства», «множество точек на плоскости», «множество действительных чисел» и т.д. — привычные словосочетания, не требующие дополнительных рассуждений и определений.
Понятия множество, элементы множества — первичные базисные неопределяемые понятая, на которых строится теория множеств.
Совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество.Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе, множество натуральных чисел N и т.д.
Запись а 
М означает: элемент а принадлежит множеству М, т. е. элемент а обладает некоторым признаком. Аналогично a 
М читаем как: элемент а не принадлежит множеству М. Множество считается заданным,если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Первый вариант будем записывать так: М = {m1 , т2, тк), например,
М= {0, 1}.
Последний вариант будем записывать так: М= {b|Р(b)}. Такая запись читается как: М состоит из тех (всех) элементов b, которые обладают признаком Р. Например, М = {n| n N, п < 5} означает: М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти. Само свойство P будем называть характеристическим.
В качестве характеристического свойства может выступать указанная для этого свойства порождающая процедура, которая описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Например, множество 
= {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 = { 
| i 
Z, 
0}), можно задать с помощью порождающей функции по индуктивным правилам:
· 1
· если к то (2к) .
Итак, запись М = {х|Р(х)} означает: множество М состоит из всех элементов х, обладающих признаком Р.
Например, запись М ={х | x3 + Зх2 + 2x = 0} означает, что множество М содержит только корни данного уравнения, т.е. числа {0; -1; -2}.
Из данных множеств А и Вможно построить новые множества с помощью операций объединения, пересечения, вычитания и др.
Понятие множества появилось в математике сравнительно недавно, в конце 19-го века, в связи с работами Кантора (сравнение мощностей множеств). Некоторое время назад этот язык пытались внедрить в школьное преподавание, объясняя ученикам, что у уравнения х2+1 = 0 есть множество решений (впрочем, пустое), что множество решений системы уравнений есть пересечение множеств решений каждого из них (а для «совокупности» уравнений — объединение), что в множестве {2,2,3} не три элемента, а два, и оно равно множеству {2,3}, что 
, { } и { ,{ }} — это три совершенно разных множества и т. д. Но всё равно большинство школьников так и не поняло, почему множество решений уравнения x2 = 4 можно записывать как {—2,2}, а множество решений уравнения x2 = - 4 нельзя записывать как { } (а надо писать ).