Идентификация порядка разности модели

На практике для выявления значений параметров p и q АРПСС модели используются автокорреляционные и частные автокорреляционные функции.

Шаг 1. Воспользуемся радом первых разностей (рисунок 7.2) и в окнеTransformations of Variables (Преобразование переменной) выберем вкладку Autocorrs (Автокорреляция).

Шаг 2.Для построения автокорреляционной функции необходимо выбрать кнопку Autocorrelations (Автокорреляция), при этом можно регулировать уровень значимости, указывая соответствующее значение в окне p-level for highlighting. В результате проведения процедуры получаем график представленный на рисунке 7.6.

Для расчета частной автокорреляционной функции выберем кнопку Partial autocorrelations, результаты представим на рисунке 7.7.

 

 

Рисунок 7.5 – Окно выбора расчета автокорреляционной, частной автокорреляционной функции и кросскорреляции (приведена часть исходного окна)

 

Рисунок 7.6 – Автокорреляционная функция

 

Рисунок 7.7 – Частная автокорреляционная функция

 

Обратимся к таблице 7.1 и попытаемся идентифицировать ARMA модель. Поведение автокорреляционной функции (экспоненциально затухает) согласуется с моделью ARMA (1,0) или ARMA (2,0). При этом поведение частной автокорреляционной функции (согласно рисунку 7.7, имеем выбросы на втором и четвертом лаге) не согласуется с данными моделями. Поэтому необходимо рассчитаем вторые разности, для этого во вкладке x=f(x) выбрать Autocorr. (x=x-(a+b*x(lag))), в качестве исходной переменной (в верхней части окна) выберем x-0,000-1,00*x(t-1)

 

 

Рисунок 7.8– Окно выбора исходной переменной для расчета (приведена часть исходного окна)

В результате получаем следующие автокорреляционные и частные автокорреляционные функции:

 

 

Рисунок 7.9 – Автокорреляционная функция

 

 

Рисунок 7.10 – Частная автокорреляционная функция

 

Полученные данные соответствуют модели ARMA(1,0), так как АКФ - экспоненциально затухает, ЧАКФ - выброс (пик) на лаге 1. После идентификации моделей перейдем к непосредственной оценки ее параметров.

Построение ARMA модели

 

В рассматриваемом пакете программ существует два метода построения авторегрессионных моделей:

1) Построение ARMA модели в модуле Multiple regression

2) Построение ARMA модели в модуле ARIMA & Autocorrelation function

7.7.1. Построение ARMA модели в модуле Multiple regression

 

Оценить параметры ARMA модели можно с помощью обычного МНК (но при этом оценки будут смещены). Для реализации этого метода в пакете необходимо:

Шаг 1. Сохранить результаты расчета вторых разностей, для этого в окне Transformations of Variables нажать кнопку Save variables получаем новую таблицу, содержавшую три переменные:

Y – исходный ряд денежного агрегата М0;

Y_1 – ряд первых разностей;

Y_2 – ряд вторых разностей.

Шаг 2. Проведем замену обозначений выведенных переменных: Y_1 засеменим на D’, Y_2 на D’’.

Также необходимо ввести переменную D’’t-1, для этого в главном меню выбираем Insert ® Add Variables. В появившемся окне Add Variables в поле Name заменим NewVar на D’’t-1, в поле Long name введем выражение =v3.

Шаг 3.Выбираем в главном меню Date ® Shift (Lag) и проводим сдвиг переменной D’’t-1 на один шаг вперед(Forward).

Шаг 4.В главном меню выбираем Statistics ® Multiple Regression. В окне Select dependent and independent variable lists (запускается после нажатия кнопки Variables) в качестве зависимой переменной указываем D’’ в качестве не зависимой - D’’t-1.

Шаг 5. Установим галочку возле опции Advanced options (stepwise or ridge regression) в появившемся окне Model Definition в прокрутке Intercept выберем Set to zero (т.е. регрессионное уравнение будет оценено без свободного члена). После оценки получим следующие результаты:

 

Таблица 7.2 – Результаты оценки модели вида

 

  Beta Std.Err. of Betta B Std.Err. of B t(24) p-level
D''t-1 -0,878 0,098 -0,911 0,101 -8,992 0,000

 

Согласно результатам построения авторегрессионной модели вида ARMA(1,0), параметр a получен статистически значим. Также необходимо отметить, что модель статистически значима по F-критерию Фишера (Fфакт(1,24)=80,86 против Fтабл(1,24)= 4,26).

Шаг 6. В окне итогов построения регрессионной модели (Multiple Regression Results) необходимо выбрать вкладку Residuals / assumptions / prediction, далее кнопку .

В появившемся окне Residual Analysis выбираем вкладку Save ® Save residuals & predicted, в промежуточном окне Select variables to save with predicted/residual sc… выделим переменную D’’ и нажмем кнопку ОК. Получаем следующую таблицу с результатами:

 

 

Рисунок 7.11 – Таблица результат оценки ARMA модели

 

Шаг 7. На основе полученной таблицы построим график. Выберем в главном меню Graphs ® 2D Graphs ® Line Plots (Variables…). Нажмем кнопку Variables (Переменные) и в появившемся окне укажем переменные D’’ и Predicted. Также в поле Graph type (окно 2D Line Plots –Variables) выделим Multiple (таким образом, на график будет выведены обе переменные одновременно).

 

 

Рисунок 7.12 - Ряд вторых разностей денежного агрегата М0 и модельные данные

Согласно приведенному графику используемая для описания динамики первых разностей авторегрессионная модель ARMA (1,0) очень хорошо описывает анализимруемый ряд.

Шаг 8.Снова обратимся к вкладке Residuals/assumptions/prediction нажмем кнопку Predict dependent variable для прогнозирования уровней исследуемого ряда.

Шаг 9. В окне Specify values for indep. vars укажем последнее значение переменной D’’t-1 равное -79, получим следующий результат:

 

Таблица 7.3 – Точечный прогноз вторых разностей денежного агрегата М0 на 1 квартал 2006г.

 

  B-Weight Value B-Weight * Value
D''t-1 -0,911 -79,000 71,969
Predicted     71,969
-95,0%CL     55,451
+95,0%CL     88,488

 

Аналогичным образом рассчитаем значения для 2-4 квартала 2006г. при этом в качестве прогнозного значения будем использовать значение точечного прогноза предыдущего квартала:

 

Таблица 7.4 - Прогнозные значения вторых разностей денежного агрегата М0 на 2006г.

 

Квартал/год Значения показателя для прогноза Прогноз модели ARMA (1,0) Нижняя доверительная граница Верхняя доверительная граница
I/2006 -79,000 71,969 55,451 88,488
II/2006 71,969 -65,564 -80,612 -50,516
III/2006 -65,564 59,729 46,020 73,438
IV/2006 59,729 -54,413 -66,902 -41,924

7.7.2. Построение ARMA модели в модуле ARIMA & Autocorrelation function

 

Для построения семейства ARMA моделей в пакете STATISTICAсуществует специальный модуль:

Шаг 1. В главном меню выберем Statistics ® Advancer Linear/Nonlinear Models ® Time Series Analysis ® ARIMA & Autocorrelation function (Расчеты ® Основные линейные и нелинейные модели ® Анализ временных рядов ® ARIMA & Автокорреляционные функции).

Шаг 2. В появившемся окне Single Series ARIMA (АРПСС модель для одномерного ряда) выберем вкладку Quick (Быстрые). В верхней части окна выберем ряд, на основе которого будет проведена оценка модели, в нашем случае это – x-0,000-1,00*x(t-1); x-0,000-1,00*x(t-1) (ряд вторых разностей).

 

 

Рисунок 7.13 – Установки ARMA модели (приведено часть исходного окна)

 

Шаг 3. После нажатия кнопки будет выведено окно Single Series ARIMA Results (Результаты построения АРПСС модели для одномерного ряда).

 

 

Рисунок 7.14 – Окно результатов построения АРПСС модели

 

Приведенное окно (рисунок 7.14) характерно для рассматриваемого пакета программ, оно разделено на две половины: в верхней части приведены результаты расчетов ARMA модели, в нижней части приведены вкладки, позволяющие подробнее просмотреть результаты построения модели и оценить прогноз.

Шаг 4. Выберем вкладку Advanced и нажмем кнопку Summary: Parameter estimates результаты приведем в таблице 7.5.

 

Таблица 7.5 – Результаты построения ARMA(1,0) модели

 

  Param. Asympt. Std. Err. Asympt. t(25) p Lower 95% Conf Upper 95% Conf
p(1) -0,911 0,102 -8,895 0,000 -1,122 -0,700

 

Во втором столбце расположены параметры уравнения в данном случае модель имеет вид:

В третьем столбце расположены асимптотические ошибки.

В четвертом асимптотический t-критерий.

Далее p-уровень значимости и 95% нижняя (верхняя) границы.

Судя по полученному значению асимптотического t-критерия полученная модель статистически значима.

Шаг 5. Для прогнозирования значений вторых разностей данном модуле необходимо во вкладке Advanced обратится к группе опций Forecasting (Прогнозирование). Допустим необходимо построить прогноз на 4 уровня вперед, для этого установим цифру 4 в опции Number of cases (Номер наблюдения). И нажмем кнопку Forecast cases (Прогноз значения), в результате получим таблицу 7.6 и рисунок 7.15.

 

Таблица 7.6 - Прогнозные значения вторых разностей денежного агрегата М0 на 2006г.

 

  Forecast Lower 95% Upper 95% Std.Err.
-162,614 -291,707 -33,522 62,680
148,142 -26,487 322,772 84,791
-134,958 -339,833 69,917 99,476
122,947 -103,989 349,884 110,188

 

 

Рисунок 7.15 – Прогноз вторых разностей по модели ARMA (1,0)

 

Тесты для самоконтроля

 

1) Если автокорреляционная функция (АКФ) выказывает выброс на первом лаге, а частная автокорреляционная функция (ЧАКФ) экспоненциально затухает, то можно предположить что ряд наиболее адекватно опишет модель в форме:

а) ARMA(0,2)

б) ARMA(0,1)

в) ARMA(1,0)

2) Если АКФ экспоненциально затухает, а ЧАКФ обнаруживает выброс на первом лаге, то можно предположить что ряд наиболее адекватно опишет модель в форме:

а) ARMA(0,2)

б) ARMA(0,1)

в) ARMA(1,0)

3) Если АКФ экспоненциально затухает, а ЧАКФ обнаруживает выброс на первом и втором лаге, то можно предположить что ряд наиболее адекватно опишет модель в форме:

а) ARMA(2,0)

б) ARMA(0,1)

в) ARMA(1,0)

4) Если АКФ обнаруживает выбросы (пики) на лагах 1 и 2, а ЧАКФ экспоненциально затухает, то можно предположить что ряд наиболее адекватно опишет модель в форме:

а) ARMA(0,2)

б) ARMA(0,1)

в) ARMA(1,0)

5) Приведенная модель yt = ayt-1 + et является:

а) AR(1)

б) AR(2)

в) MA(1)

г) MA(2)

6) Приведенная модель yt = a1yt-1 + a2yt-2 + et является:

а) AR(1)

б) AR(2)

в) MA(1)

г) MA(2)

7) Приведенная модель yt = et +qet-1 является:

а) AR(1)

б) AR(2)

в) MA(1)

г) MA(2)

8) Приведенная модель yt = et +q1et-1 + q2et-2 является:

а) AR(1)

б) AR(2)

в) MA(1)

г) MA(2)

9) Приведенная модель yt = a1yt- + et +qet-1 является:

а) ARIMA (1, 1, 1)

б) ARMA (1, 1)

в) ARMA (2, 2)

10) Марковским процессом называют модель вида:

а) yt = ayt-1 + et

б) yt = a1yt-1 + a2yt-2 + et

в) yt = a1yt- + et +qet-1