Выражение суждения в виде формулы логики предикатов
Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами. Простым суждением называется суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях. В атрибутивных суждениях выражается наличие или отсутствие у предметов некоторых свойств. Например, "Иванов – спортсмен", "некоторые моря имеют пресную воду".
Все атрибутивные суждения можно разделить на типы и перевести на язык логики предикатов: "a есть P" – P(a) ; "Все S есть P" – "x(S(x)®P(x)) (общеутвердительное суждение); "Ни один S не есть P" – "x(S(x)®ØP(x)) (общеотрицательное суждение); "Некоторые S есть P" – $x(S(x)ÙP(x)); (частноутвердительное суждение); "Некоторые S не есть P"– $x(A(x)ÙØP(x)) (частноотрицательное суждение).
При переводе на язык логики предикатов надо руководствоваться правилом: если кванторная переменная связана квантором общности ("), то в формуле используется знак импликации ( ®), а если кванторная переменная связана квантором существования ($), то в формуле используется знак конъюнкции (Ù).
Пример 2.3.
Перевести на язык логики предикатов следующие суждения.
а) Андрей – студент.
Заменим имя " Андрей" символом "а" и введем предикат P(x) = "x – студент". Это суждение можно выразить формулой: P(а).
б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей.
Введем предикаты S(x) = "x – логическая функция"; P(x) = "x может быть задана таблицей". Это суждение можно выразить формулой: "x(S(x) ® P(x)).
в) Ни один человек не всеведущ.
Введем предикаты S(x) = "x – человек"; P(x) = "x всеведущ". Суждение можно выразить формулой: "x(S(x) ® ØP(x)).
г) Некоторые студенты были на конференции.
Введем предикаты S(x) = "x – студент"; P(x) = "x был на конференции". Суждение можно выразить формулой: $x(S(x) Ù P(x)).
д) Некоторые люди не умеют слушать.
Введем предикаты S(x) = "x – человек"; P(x) = "x умеет слушать". Суждение можно выразить формулой: $x(A(x) Ù ØP(x)).
Суждения об отношениях выражают отношения между объектами. При переводе этих суждений в формулы используют многоместные предикаты и рассмотренные правила. При переводе отрицаний суждений на язык формул применяется правило переноса квантора через знак отрицания и другие равносильные преобразования.
Пример 2.4.
Суждение "Некоторые студенты сдали все экзамены" записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.
Введем предикаты: A(x) = "x – студент"; B(y) = "y – экзамен", C(x, y) =
"x сдал экзамен y". Тогда предложение "Некоторые студенты сдали все экзамены" можно записать в виде следующей формулы:
$x"y(A(x)ÙB(y) ® C(x, y)).
Построим отрицание этой формулы, применяя равносильные преобразования:
Ø$x"y(A(x)ÙB(y)®C(x, y))) º "x$y(Ø(A(x)ÙB(y) ®C(x, y))º
º "x$y(A(x)ÙB(y)Ù ØC(x, y)).
Это предложение можно прочитать следующим образом:
"Каждый студент не сдал хотя бы один экзамен".
Задания
1. Данную формулу логики предикатов привести к предваренной нормальной форме.
2. Данное суждение записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.
Варианты индивидуальных заданий
Вариант № 1
1. "x(P(x)ÙR(x)®$yQ(x,y)).
2. Не всякое действительное число является рациональным.
Вариант № 2
1. "x(P(x)®(R(x)((yQ(x,y)).
2. Каждый студент выполнил хотя бы одну практическую работу.
Вариант № 3
1. "xP(x)®$yP(y))Ú"z$xR(x, z).
2. Ни одно четное число, большее 2, не является простым.
Вариант № 4
1. "x ($y(ØP(x)ÙQ(y))® R(y, z)).
2. Некоторые звезды не видны.
Вариант № 5
1. "x ($y(ØP(x,y)ÙQ(y, z))).
2. Произведение любых двух простых чисел не является простым числом.
Вариант № 6
1. "x($y(ØP(x))ÙQ(y)).
2. Всякое положительное число больше всякого отрицательного числа.
Вариант № 7
1. "x($y(ØP(x))«Q(y, z)).
2. Все ромбы являются параллелограммами.
Вариант № 8
1. "x(P(x) ® Q(x, y)) ® ($yP(y) ® $zQ(y, z)).
2. Некоторые четные функции периодические.
Вариант № 9
1. $xP(x, y)® (Q(x) ® Ø$u(P(x, u))).
2. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
Вариант № 10
1. "x"y($zP(x, z) Ù Q(x, z)) ® $uR(x, y, u).
2. Некоторые змеи ядовиты.
Вариант № 11
1. "x(P(x) ® $y(Q(x, y) Ú $zR(x, y, z))).
2. Некоторые реки не судоходны.
Вариант № 12
1. "x(P(x) « $yQ(x, y).
2. Никакое знание не бесполезно.
Вариант № 13
1. Ø($x"yP(x, y )Ú ("x"y$zQ(x, y, z)))Ù$yR(y).
2. Некоторые абитуриенты поступили в институт.
Вариант № 14
1. "x(P(x) ® Ø($y"zQ(x, y, z))).
2. Студент ответил на некоторые вопросы.
Вариант № 15
1. ((Ø$xP(x)) Ú ("xQ(x))Ù(R(x) ®"yS(x, y)).
2. Автобус останавливается на всех остановках.
Вариант № 16
1."x P(x) « $xQ(x).
2. Ни одна монотонная функция не явлвется четной.
Вариант № 17
1. (Ø"xP(x) Ú $xQ(x))Ù(R ®$S(x, y)).
2. Ни один лентяй не заслуживает похвалы.
Вариант № 18
1. P(x, y) ® Ø($xQ(x, y)Ú"uP(u)).
2. Не все металлы твердые.
Вариант № 19
1. "x"y(Q(x) « Ø(P(x, y)ÚØ($uR(x, y, u)))).
2. Некоторые студенты получают стипендию.
Вариант № 20
1. ØP(x, y) « ("xQ(x)ÙØ($y"uR(y, u, y))).
2. Некоторые параллелограммы являются ромбами.