Производная показательной функции

Пусть

где a – положительное число, u – дифференцируемая функция x . Найдём производную y по x . Прологарифмируем обе части равенства по основанию e : ln y = u ln a . Дифференцируя это равенство по x и учитывая, что ln y – сложная функция, а ln a – постоянный множитель, получим

или

Подставив в последнее равенство

окончательно находим

Производная логарифмической функции

Производная функции y = ln x существует и выражается формулой

(15)

В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид

(16)

Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

На основании свойств логарифмов имеем

Так как

- постоянный множитель, то

или

38.

Производные элементарных функций:

Функция	Производная
f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
f(x) = xⁿ	n · x^{n − 1}
f(x) = sin x	cos x
f(x) = cos x	− sin x
f(x) = tg x	1/cos² x
f(x) = ctg x	− 1/sin² x
f(x) = ln x	1/x
f(x) = log_a x	1/(x · ln a)
f(x) = e^x	e^x

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция g дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁,b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Показательно-степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u^v, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1(x) имеет производную [f^--1(x)]', причем

или

Производные обратных тригонометрических функций

Производная функций заданных неявно

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F '_y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'_x(x, y) / F'_y(x, y).

Производная функций заданных параметрически

формула производной параметрически заданной функции

Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f’(x)dx.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства: