Анализ коэффициентов регрессии

Анализ исходных данных.

График №1. Динамика чистого дохода и капиталовложений.

График №2. Зависимость чистого дохода и капиталовложений.

Построение модели.

Используя МНК, решаем систему нормальных уравнений.

na0+a1x=y

a0x+a1x² =xy

10a0+15,39a1=36,85

15,39a0+23,96a1=58,17

Решим систему по правилу Крамера.

D0 = D1 = D3 =

D0=2,75; D1=-12,31; D3=14,58.

a0=D1/D0=-12,31/2,75=-4,48; a1=D3/D1=154,58/2,75=5,30.

y^=-4,48+5,30x

Модель с численными параметрами представлена в таблице №1.

Анализ качества модели.

q Анализ остатков:

y^1=-4,48+5,70x1,30=2,93 и т. д.

Построение графика изменения Е, где E=y-y^

График№3. Анализ остатков

q Критерий «серий».

При уровне зависимости 0,05 < < 0,0975 количественное выражение этого правила имеет вид:

S(n)>(2n-1)-1.96(16n-29)/90,

l(n)<l0(n);

Где: n – число элементов в ряду;

S(n) – число серий;

L(n) – максимальная длина серий, при этом если n<26, то L0(n)=5, если 26<n<153, то L0(n)=6.

! по первому критерию серии требуемое условие выполняется.

q Определяем максимальную длину серии:

L(n)=3 L0=5 Ln<L0 3<5;

!По критерию серий делаем вывод, что остатки случайны и независимы. Далее можно использовать анализ регрессий.

Оценка на отсутствие автокорреляции (критерий Дарвина Уотсона).

Вычислим коэффициент Дарвина Уотсона.

DW=(ei-ei-1)²/ ei²

Таблица №2

DW=0.269/0.209=1.29

Коэффициент Дарвина – Уотсона является критерием для проверки гипотезы о наличии автокорреляции в остатках в генеральной совокупности. Значения критерия DW затабулированы.

Для сравнения табличных значений и расчётных строится специальная схема:

Таблица №3

Вычисленное значение DW = 1.29 свидетельствует о том, что нет однозначного ответа и необходимо дополнительное исследование.

Корреляционный анализ.

Анализируя основной график можно сделать следующие выводы:

q Присутствует ярко выраженная линейная зависимость.

q Взаимосвязь параметров X и Y наблюдается с изменением одного параметра.

Далее определяем линейный коэффициент корреляции (R) между X и Y. Если R=1, то имеет место прямая функциональная связь, если R0, то функциональная связь отсутствует.

r=(xy`-x`*y`)/(x`²-(x`)²)*( y`^2-(y`)²)

Корреляционный анализневозможно напрямую провести по исходным данным. Поэтому схема анализа заключается в следующем:

q Во временном ряду X и Y определяются тренды.

q Находятся отклонения от тренда (остатки).

q Корреляционный анализ применяется к отклонениям от тренда.

q Делаются выводы.

r=(ex*ey`-ex`*ey`)/(ex`²-(ex`)²)*(ey`^2-(ey`)²)

Учитывая случайные параметры X и Y, упростим корреляционный анализ:

r= 0,993

! Вывод: Очень тесная корреляционная связь. На 99% вариация признака Y (объём капиталовложений) объясняется влиянием фактора X (чистый доход).

6. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции с учётом t статистики.

Tрасч=r*(n-2)/ (1-r²)

tрасч=200,64

tтеор(0,05;8)=2,31

tрасч>tтабл

! Вывод: Коэффициент корреляции статистически значим.

Анализ коэффициентов регрессии.

Вычисление среднеквадратической ошибки коэффициента регрессии.

Sa1=(e1²/(n-k-1))*b22

b22=n/D0

Sa=(0,04/10)*(10/2,75)=0.13

Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.

Ta1расч=a1/Sa1=5,30/0,13=40,77

tтеор(0,05;8)=2,31

tрасч>tтабл

! Вывод: Коэффициенты модели статистически значимы

Построение доверительных интервалов коэффициентов регрессии.

A1 – tтабл * Sa1<<a1 + tтабл * Sa1

5,30 – 2,31 * 0,13<<5,30 + 2,31 * 0,13

5,00<<5,60

Доверительный интервал [5,00; 5,60]

Проверка адекватности модели.

q Определение коэффициента детерминации

R² = 1- e1²/ (y-y`)²

Таблица №4

y-y`	(y-y`)²
-1,46	2,13
-1,16	1,34
-0,56	0,31
-0,46	0,21
-0,01	0,00
0,14	0,02
0,44	0,20
0,94	0,89
1,04	1,09
1,34	1,80
	7,98

R² = 1-0,04/7,98=0,99

Оценка статистической значимости коэффициента детерминации

Fрасч= [R² (n-2)]/[(1- R²)*k]=792

Fтабл=239

Fрасч>Fтабл

! Вывод: Коэффициенты детерминации значимы. Модель адекватна.

Визуальная оценка точности подбора функции регрессии на основе сопоставления графиков.

График№4. Оценка точности подбора функции