Характеристики случайных функций
Для случайных функций вводят простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Для случайных величин числовые характеристики представляют собой некоторые числа. Характеристики случайных функций в общем случае - функции.
 |
Математическим ожиданием (средним по множеству или по ансамблю) случайной функции X(t) называется такая функция, значения которой при каждом данном значении аргумента t равна математическому ожиданию значений случайной функции х при этом t:
Таким образом, для нахождения случайной функции необходимо задать ее одномерный закон распределения. Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю линию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции. Это есть среднее значение, определенное на основании наблюдений над многими однотипными системами, находящимися при одинаковых условиях в одни и те же моменты времени. Эта величина зависит от момента времени t, для которого она определяется, и иногда называется статистическим средним.
Дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция Dx(t), значения которой для каждого значения аргумента t совпадает со значением дисперсии соответствующего сечения случайной функции:
Эта функция характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно математического ожидания.
Для описания тесноты связи между значениями случайной функции в различные моменты времени t1,t2 служит корреляционная функция.
 |
Корреляционная функция. Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция двух аргументов Kx(t1,t2), которая при каждой паре значений t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной
Раскрыв символ математического ожидания, получим:
Положим t1 = t2, тогда
т.е. при равенстве аргументов корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции.
В качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.
Поскольку корреляционный момент двух случайных величин X(t1) и X(t2) не зависит от порядка, в котором рассматриваются эти величины, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов:
Kx(t1,t2)= Kx(t2,t1).
Вероятностные характеристики, определенные как средние по множеству реализаций, характеризуют случайный процесс в целом. Различают еще характеристики, как средние по времени, которые характеризуют одну какую-либо реализацию случайного процесса.
Пусть X1(t) - одна реализация процесса. Тогда ее среднее значение по времени будет равно:
Таким же образом можно определить и все другие вероятностные характеристики для одной реализации. Например, средний квадрат X1(t) равен:
Дисперсия одной реализации случайного процесса равна:
