Случайные функции и их характеристики (примеры)
Предварительные замечания. Найдем изображение Фурье от d-функции.
Очевидно, справедливо и обратное преобразование Фурье:
а также:
1. Пусть процесс представляет собой постоянную величину x(t)=Ao. Как уже было выяснено ранее, корреляционная функция такого процесса равна Найдем спектральную плотность процесса путем прямого преобразования Фурье функции R(t):
Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат. Таким образом, если в процессе присутствует только одна частота w=0, то это значит, что вся мощность процесса сосредоточена на этой частоте, что и подтверждает вид функции S(w). Если случайная функция содержит постоянную составляющую, т.е. среднее значение 
, то S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат и будет характеризоваться наличием d-функции в точке w=0.
2. Для гармонической функции X=Aosin(w0t+j) корреляционная функция:
Спектральная плотность равна
График S(w) будет иметь два пика типа импульсной функции, расположенных симметрично относительно начала координат при w=+w0 и w=-w0. Это говорит о том, что мощность процесса сосредоточена на двух частотах +w0 и -w0 .
Если случайная функция имеет гармонические составляющие, то спектральная плотность имеет разрывы непрерывности в точках w= ±w0 и характеризуется наличием двух дельта-функций, расположенных в этих точках.
Белый шум. Под белым шумом понимают случайный процесс, имеющий одинаковые значения спектральной плотности на всех частотах от -¥ до +¥ : S(w) = Const.
Примером такого процесса при определенных допущениях являются тепловые шумы, космическое излучение и др. Корреляционная функция такого процесса равна
Таким образом R(t) представляет собой импульсную функцию, расположенную в начале координат.
Этот процесс является чисто случайным процессом, т.к. при любом t¹0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной функции. Процесс с такой спектральной плотностью является физически нереальным, т.к. ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:
Такому процессу соответствует бесконечно большая мощность и источник с бесконечно большой энергией.
2. Белый шум с ограниченной полосой частот. Такой процесс характеризуется спектральной плотностью вида
S(w)=C при ½w½<wn,
S(w)=0 при ½w½>wn.
где (-wn, wn) полоса частот для спектральной плотности.
Это такой случайный процесс, спектральная плотность которого остается практически постоянной в диапазоне частот, могущих оказать влияние на рассматриваемую систему управления, т.е. в диапазоне частот, пропускаемых системой. Вид кривой S(w) вне этого диапазона не имеет значения, т.к. часть кривой, соответствующая высшим частотам, не окажет влияния на работу системы. Этому процессу соответствует корреляционная функция
Дисперсия процесса равна
5. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала принимают сигнал, график которого показан на рис.63. Скорость вращения задающего вала следящей системы сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени t1, t2,...
Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона. Математическое ожидание 
Рис.63. Типовой сигнал
График такого вида получается в первом приближении при слежении РЛС за движущейся целью. Постоянные значения скорости соответствуют движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.
Пусть m-среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда Т=1/m будет среднее значение интервалов времени, в течение которых угловая скорость сохраняет свое постоянное значение. Применительно к РЛС это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения
При нахождении этого значения могут быть два случая.
1. Моменты времени t и t+t относятся к одному интервалу. Тогда среднее произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:
2. Моменты времениt и t+t относятся к разным интервалам. Тогда среднее произведения скоростей будет равно нулю, так как величины W(t) и W(t+t) для разных интервалов можно считать независимыми величинами:
Корреляционная функция равна:
где, Р1- вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале, а Р2=1- Р1 вероятность нахождения их в разных интервалах.
Оценим величину Р1. Вероятность появления перемены скорости на малом интервале времени Dt пропорциональна этому интервалу и равна mDt или Dt/Т. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же интервала будет равна 1-Dt/Т. Для интервала времени t вероятность отсутствия перемены скорости т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале постоянной скорости будет равна произведению вероятности отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Dt, т.к. эти события независимые. Для конечного промежутка получаем, что число промежутков равно t/Dt и
Перейдя к пределу, получим
Тогда
Знак модуля t поставлен вследствие того, что это выражение должно удовлетворять четной функции.
Формула S(w) записана для угловой скорости процесса. Сама кривая перемещения не ограничена предельными условиями и ее нельзя рассматривать как стационарный процесс, ибо ни среднее значение ни дисперсия не есть константы.
6. Нерегулярная качка. Некоторые объекты, например, корабли, самолеты и др., находясь под действием нерегулярного возмущения (волны, атмосферные возмущения и т.д.) движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, свойственную им частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты и возмущения, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называется нерегулярной качкой. На практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением
где b - резонансная частота, m - параметр затухания, D- дисперсия. Значения D, m, b находят путем обработки экспериментальных данных.
Этой корреляционной функции соответствует спектральная плотность
Более точные формулы для аппроксимации:
