Формулы Крамера. Метод обратной матрицы
Системы n линейных уравнений с n переменными имеют вид:
(2) |
Матрица такой системы является квадратной, и ей соответствует определитель - го порядка , называемый главным определителем системы. Решение системы (2), в случае , может быть найдено по формулам Крамера.
,
где - вспомогательные определители системы.
Главный определитель системы состоит из коэффициентов при переменных, а вспомогательные составляют из главного, заменяя столбец коэффициентов (при соответствующей переменной) столбцом свободных членов.
Если , то система имеет единственное решение;
если , то система имеет бесконечно много решений;
если и какой-либо из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет решений (или имеет (пустое множество) решений).
Метод обратной матрицы
Запишем систему (2) в матричном виде и решим матричное уравнение:
Матричное уравнение может иметь и другой вид:
Метод Гаусса
Одним из наиболее универсальных методов решения алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении переменных.
Пусть дана система уравнений:
На первом этапе (прямой ход) систему уравнений приводим к ступенчатому (в частном случае, когда , к треугольному ) виду с помощью элементарных преобразований.
На втором этапе ( обратный ход) последовательно определяем значения переменных из полученной ступенчатой системы.
Если ступенчатая система окажется треугольной, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим значение , из предпоследнего - , и далее, поднимаясь по системе вверх, найдем значения всех остальных переменных .
Если в результате элементарных преобразований появляются уравнения , то их вычеркиваем. Если же появляется уравнение , то это свидетельствует о несовместности системы.
Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над строками.
Удобно, чтобы коэффициент был равен . Для этого можно переставить уравнения системы либо разделить обе части первого уравнения на .
Пример 1.Решить систему уравнений методом Гаусса
¦ Прямой ход.
1. Выберем «ведущим» третье уравнение и запишем его на первое место.
2. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования над ее строками:
~ | ~ |
первую строку перепишем, а вторую и третью заменим суммой с первой, умноженной соответственно на и на ; | разделим вторую строку на . |
~ | ~ |
первую и вторую строки перепишем, а третью заменим суммой ее со второй , умноженной на ; | из этой матрицы запишем систему треугольного вида. |
Обратный ход.
Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение , из первого - значение .
Ответ: .
Пример 2.Решить систему уравнений
¦ Запишем расширенную матрицу системы. Выполняя элементарные преобразования над ее строками, получим:
~ ~
~ ~ .
Из последней матрицы запишем систему
Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение .
Так как уравнений в системе осталось меньше, чем переменных, то из первого уравнения выражаем через ( - свободная переменная, т.е. - любое число ).
Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.
Ответ: , где - любое число.