Тема 3. Функции и их графики. 1 страница

⇐ Назад
1
234
5
Далее ⇒

а) Свойства функций.
№1. Найти области определения функций:
а) f (x) = ; б) f (x) = ; в) f (x) = + 3arccos ;
г) f (x) = log ₂(2 – x) + 2log _x5; д) f (x) = log _0,5 log ₃ x.

 

№2. Найти множества значений функций:

а) f (x) = |х + 1| - 3; б) f (x) = ; в) f (x) = .

б) Преобразование графиков.
№3. Построить графики функций:
а) у = - 2 ; б) у = х ² - 5|х| + 6; в) у = |2(х – 1)² - 4|х - 1| - 16| + 3; г) у = .

Тема 4. Кривые 2-го порядка.
а) Задачи на построение кривых.
№1. Построить кривые:
а) 16х ² – 9у ² – 64х + 54у – 161 = 0; б) х ² + у ² – 8х + 6у – 11 = 0;
в) у ² – 8у – 4х = 0; г) х ² + 4у ² – 6х + 8у – 3 = 0.

 

б) Задачи на составление уравнений.
№2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки М₁(1; 2), М₂(0; - 1),
М₃(- 3; 0).
№3. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М_{1 ,}
М_{2 .}
№4. Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку М₁( ; ), а эксцентриситет равен .
№5. Написать уравнение параболы, если она проходит через точки пересечения пря-
мой х + у = 0 и окружности х ² + у ² + 4у = 0 и симметрична относительно оси Оу.
№6. Составить уравнение окружности, проходящей через точки М₁(7; 7), М₂(- 2; 4), если её центр лежит на прямой 2х – у – 2 = 0.
№7*. Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоя-нию между концами большой и малой осей.
№8. Составить уравнение гиперболы, если её асимптоты заданы уравнениями у = ± х
и гипербола проходит через точку М(10; - 3 ).

Тема 5. Пределы.
а) Определения пределов.
№1. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую
ε = 0,1; 0,01; 0,001.
№2. Доказать, что = - 1. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем ε = 0,1; 0,02.

№3. Доказать, что не существует.

б) Алгебраические приёмы раскрытия неопределённостей.
№4. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) (2х ⁵ – 10х ³ – 1); ё) ;
ж) ; з) ; и) ; й) ; к) ; л) ; м) ;
н) ; о) ; п) ;
р) ; с) .

в) Замечательные пределы.
№5. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ё) ; ж) ;
з) ; и) ; й) ; к) .

г) Вычисление пределов с помощью эквивалентностей.
№6. Вычислить: .

Тема 6. Непрерывность функции.
№1. Исследовать на непрерывность функции:
а) у = ; б) у = 3 - ; в) у = ; г) у = ; д*) у = .

Тема 7. Производная функции.
а) Вычисление производных с помощью определения.
№1. Используя определение, найти производные функций:
а) у = ; б) у = cos 2x; в) у = .

 

б) Практикум по вычислению производных.
№2. Найти производные функций:
а) у = 2х ⁷ – 5х ² + 2 + 1; б) у = + ; в) у = ln x; г) у = - arctg x;
д) у = ; е) у = sin ; ё) у = arcsin + ; ж) у = ln (х + );
з) у = ln ; и) у = ; й) у = ; к) у = .

 

в) Производная неявной функции.
№3. Найти производную у’_x , если ух + log ₂(х ² + у ²) – sin (ху) = 0.

г) Производные высших порядков.
№4. Найти производную у’’’, если у = 5х ⁴ - + 2 ^х.
№5. Найти производные п-го порядка: а) у = sin x; б) у = ln x.

Тема 8. Дифференциал.
№1. Найти полное приращение функции у = 2х ³ + 3х ² + 6х и её дифференциал, сравнить их.
№2. Найти приближённые значения: а) arctg 0,97; б) .

Тема 9. Вычисление пределов с помощью производной.
№1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ё) ;
ж) ; з) .

Тема 10. Исследование функций.
а) Исследование по отдельным факторам.
№1. Найти асимптоты кривой у = .
№2. Найти интервалы монотонности функции у = х ³ – 6х ² – 15х + 2.
№3. Найти экстремумы функции у = х .
№4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
у = 0,5х ³ + 3х ² – 18х + 20.

б) Полное исследование.
№5. Построить графики функций:
а) у = ; б) у = 3 - х; в) у = х ² ; г) у = х ln ; д) х arctg х.

Тема 11. Функции многих переменных.
а) Область определения.
№1. Найти области определения функций и изобразить их графически:
а) z = ; б) z = arcsin (х + у).

б) Частные производные.
№2. Найти частные производные функций: а) z = х ² + 3х - у + ; б) z = arcsin .
№3. Найти вторые частные производные функций:
а) z = 3х ² + 2ху ² – 4ху + х ²у – у ³; б) и = sin .
в) Дифференциал.
№4. Записать дифференциал функции z = 2х ² – ху + 3у ³.
№5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение .
№6. Вычислить, на сколько процентов приближённо изменится спрос, описываемый
функцией q = 5474 , где п – число производителей товара, р – цена товара, если
число производителей товара уменьшится на 1, а цена возрастёт на 1%. На рынке
имеется 7 производителей, цена товара составляет 3 единицы.

г) Производная по направлению.
№7. Найти производную функции z = х ³у – 5ху ² + 8 по направлению вектора l = {1; 1}
в точке М (1; 1).
№8. Найти производную функции и = ln (x ² + y ² + z ²) в точке М (1; 2; 1) по направле-
нию вектора MN, где N (3; 6; 5).
№9. Построить линии уровня функции z = 4 – х ² – у ². Найти градиент функции z в то-
чке М₀ (1; 2) и его модуль.

Тема 12. Экстремальные задачи.
а) Наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной.
№1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций:
а) у = х ⁴ – 2х ² + 3 на отрезке [- 3; 2]; б) у = х ² – 2х + х – 4 на отрезке [0; 4].
№2. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг
раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведёт к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена
картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель,
чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?
№3. Издержки производства некоторого товара равны С = 4 + 15q, спрос на товар определяется функцией р = - q ² + 20q + 2; 10 < q < 20. Найти объём продукции q, макси-
мизирующий прибыль.

б) Экстремумы функций многих переменных.
№4. Найти экстремумы функций:

а) z = х ² – ху + у ² + 9х – 6у + 20; б) z = (2х ² + у ²) .

в) Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.
№5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 3х ² – х ³ + 3у ² + 4у
в области х ² + у ² ≤ 1.

 

г) Условный экстремум.
№6. Найти условные экстремумы функции z = х ² + у ² – ху + х + у – 4 при х + у + 3 = 0.
№7. Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Из-
вестно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс. руб., а на
зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции соста-вит Q = 0,001х ^0,6у ^0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы
прирост объёма продукции был максимальным?

 

Тема 13. Неопределённый интеграл.
а) Непосредственное интегрирование.
№1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

б) Метод замены переменной.
№2. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

в) Интегрирование по частям.
№3. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ;
г) arctg x dx; д) ; е) ; ё) dx.

г) Интегрирование рациональных дробей.
№4. Найти интегралы: а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .

д) Интегрирование тригонометрических выражений.
№5. Найти интегралы:
а) sin ³x dx; б) sin ²x dx; в) ; г) .

е) Интегрирование иррациональных выражений.
№6. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) .

Тема 14. Определённый интеграл.
№1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) dx.

Тема 15. Несобственные интегралы.
№1. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
а) ; б) ; в) ; г) ln x dx.

Тема 16. Геометрические приложения определённого интеграла.
а) Площади фигур.
№1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) у = х ², у = 2 – х ²; б) + = 1.

б) Объёмы тел вращения.

№2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни-
ченной линиями у ² = 9х, у = 3х.
№3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни-
ченной линиями = 1, у = ± b.

Тема 17. Дифференциальные уравнения первого порядка.
а) Уравнения с разделяющимися переменными.
№1. Решить уравнение xy dx + (x + 1) dy = 0.
№2. Решить уравнение (х ² – 1)у’ + 2ху ² = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее
начальному условию у (0) = 1.

б) Однородные уравнения.
№3. Решить уравнение ху’ = у - х .
№4. Решить задачу Коши: (х ² + у ²) dx – 2xy dy = 0, y (4) = 0.

в) Линейные уравнения.
№5. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частное решение:
а) х ²у’ + ху + 1 = 0; б) у’ - 1 – х = 0, у (0) = 0.

г) Уравнения Бернулли.
№6. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл:
а) у’ = у ⁴cos x + y tg x; б) (1 – х ²) у’ + 2ху = ху ², у (0) = 0,5.

д) Уравнения в полных дифференциалах.
№7. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл:
а) (3х ² + 2у) dx + (2x – 3) dy = 0; б) dx + dy = 0, у (0) = 2.

Тема 18. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
№1. Решить уравнения и, где указаны начальные условия, найти частный интеграл:
а) у’’ = , у = , у’ = 0; б) (1 + х ²) у’’ – 2ху’ = 0, у (0) = 0, у’ (0) = 3;
в) у’’ + 2уу’ = 0, у (0) = 2, у’ (0) = - 4; г) уу’’ + (у’ ) ² = 0.

Тема 19. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
а) Однородные уравнения.
№1. Найти общие решения уравнений:
а) у’’ + у’ – 2у = 0; б) у’’ - 2у’ + у = 0; в) у’’ - 4у’ + 13у = 0; г) у ⁽⁴⁾ + 2у’’ + у = 0.

б) Неоднородные уравнения.
№2. Найти общие решения уравнений:
а) у’’ + у = 4хе ^х; б) у’’’ + у’’ = 6х + е ^{– х}.

Тема 20. Числовые ряды.
а) Знакоположительные ряды.
№1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

б) Знакопеременные ряды.
№2. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимости:
а) ; б) ; в) .

Тема 21. Степенные ряды.
№1. Определить области сходимости степенных рядов:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Тема 22. Ряды Тейлора и Маклорена.
а) Разложение функций в ряд Тейлора.
№1. Разложить функцию у = в ряд Тейлора по степеням (х + 2).

б) Разложение функций в ряды Маклорена с помощью основных разложений.
№2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ; б) cos ²x; в) ; г) .

---

⇐ Назад
1
234
5
Далее ⇒