Тема 3. Функции и их графики. 3 страница
№3.
 |
Тема 4. №1. а) Гипербола с центром (2;3) и полуосями a = 3, b = 4; б) окружность
с центром (4; - 3) и радиусом 6; в) парабола с вершиной (- 4; 4) и ветвями, направленными вправо; г) эллипс с центром (3; - 1) и полуосями a = 4, b = 2.
№2. (х + 1) 2 + (у – 1) 2 = 5. №3. 
+ у 2 = 1. №4. х 2 – у 2 = 1. №5. х 2 = - 2у.
№6. (х – 3) 2 + (у – 4) 2 = 25. №7. 
+у 2 = 
С 2. №8. 
- 
= 1.
Тема 5. №1. N0(ε) = 
; 2; 7; 24. №2. δ(ε) = 2,5ε; 0,25; 0,05.
№3. Указание. Воспользоваться определением предела функции по Гейне.
№4. а) 0;б)0; в) 0,5; г) 0; д) ∞; е) ∞; ё) 9; ж) – 3; з) 1; и) 3; й) 2; к) 0; л) 1,5;
м) 0,25; н) 1,75; о) 2/3; п) 1,5; р) -0,5; с) 1,5. №5. а) 1; б) 3; в) 0,25; г) 0,5; д) 0,5;
е) е 3; ё) е – 4; ж) е – 4; з) 3; и) 4/9; й) е – 1; к) 2,5. №6. 128 / 729.
Тема 6. №1. а) х = 4 – точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 – точка разрыва 1-го рода;
в) х = 3 – точка разрыва 2-го рода; г) х = 0 – точка устранимого разрыва;
д) х = 
, х = 
- точки разрыва 2-го рода, х = 
- точки устранимого разрыва, п 
Z.
Тема 7. №1. а) 
; б) – 2sin 2x; в) - 
. №2. а) 14х 6 – 10х + 
; б) 
;
в) 
; г) - 
; д) - 
; е) 
cos 
; ё) 
; ж) 
;
з) - 
; и) – ln 3 · sin 2x · 
; й) 
;
к) 
. №3.у’ = 
.
№4. 120х + 
+ 2 х ln 32. №5. а) sin 
; б) 
.
Тема 8. №1.∆у = (6х 2 + 6х + 6)∆х + (6х + 3)∆х 2 + 2∆х 3, dy = (6х 2 + 6х + 6)dx.
№2. а)0,77; б) 2,995.
Тема 9. №1. а) 
; б) 
; в) 0; г) 0; д) ∞; е) 
; ё) 1; ж) 1; з) 1.
Тема 10. №1.х = - 2, у = х – 1, у = - х + 1. №2. Возрастает при х (- ∞; - 1) 
(5; + ∞), убывает при х (- 1; 5). №3. х 1 = 
- точка локального максимума, у (х 1) = 
;
х 2 = 2 – точка локального минимума, у (х 2) = 0. №4. Выпукл вверх при х (- ∞; - 2),
выпукл вниз при х (- 2; + ∞); М (- 2; 64) – точка перегиба.
№5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Тема 11. №1. а)х 2 + у 2 < 9 – круг с центром (0; 0) и радиусом 3;
б)| х + у | ≤ 1 – полоса между прямыми х + у = - 1 и х + у = 1.
№2. а)zx' = 2х + 3 
- 
, zу' = 
- 1 + 
; б)zx' = 
, zу' = 
.№3. а) 
=6 + 2у, 
=2х + 4у – 4, 
=4х – 6у; б) 
= - 
sin 
,
= - 
sin , 
= - 
sin , 
= - sin + 
cos ,
= - 
sin - 
cos , 
= 
sin - 
cos . №4.(4х – у)dx + (9у 2 – х)dy.
№5. 1,509. №6. Увеличится на 10,25%. №7.- 
. №8. 
. №9.Точка М0 лежит
на линии уровня х 2 + у 2 = 5, gradz (M0) = - 2i – 4j, | gradz (M0) |= 2 
.
Тема 12. №1. а)min y = y(- 1) = y(1) = 2, max y = y(- 3) = 66; б)min y = y(0) = y(1) = - 4, max y = y(4) = 0. №2.Через 1 неделю. №3. 13. №4. а)М(- 4; 1) – точка минимума,
z (М) = - 1; б) М1(0; 0) – точка минимума, z (М1) = 0, М2(1; 0), М3(- 1; 0) – точки макси-мума, z (М2) = z (М3) = 
. №5. min z = z 
= 
, max z = z(0; 1) = 7.
№6.М (- 1,5; - 1,5) – точка минимума, z(М) = - 4,75. №7.(90; 60).
Тема 13. №1. а) 2 
- 
+ С; б) ln 
+ C; в)– 2ctg 2x + C; г) tg x – x + C.
№2. а) 
ln |x 2 – 5| + C; б) 
arctg x 3 + C; в) 2 
+ С; г) 
+ С;
д) 
arcsin 
x + C; е) 
arctg 
+ C. №3. а)– x cos x + sin x + C; б) x ln x – x + C;
в) (10х 2 – 12х – 1) sin 2x + (5x – 3) cos 2x + C; г) 
arctg x - 
+ C;
д) – х ctg x + ln |sin x| + C; е) - 
+ ln 
+ C; ё) (sin x + cos x) е х + С.
№4. а)ln 
+ C; б)х + 2,5 ln |х 2 – 6х + 10| + 5 arctg (х – 3)+ С;
в) ln 
- 
+ arctg x + C; г)ln 
+ arctg x + 
+ С;
д) 
ln 
+ 
arctg 
+ C. №5. а) 
cos 7x - 
cos 5x + C;
б) 
х - 
sin 4x + C; в) sin 2x - 
sin 8x + C; г) ln 
+ C.
№6. а) 
+ 
+3 
+ 3 ln | - 1| + C;
б) 
arcsin 
+ 
+ C; в) 
+ С; г) 
arccos 
+ C.
Тема 14. №1. а)2 
; б)4 – 2 
; в) 1 
.
Тема 15. №1. а) 1; б) 
; в) расходится; г) 
.
Тема 16. №1. а)2 ; б) 6π. №2. 
. №3. 
.
Тема 17. №1.у = С (х + 1)е – х. №2.у = 
. №3. 
= ln |Cx|. №4.(х – 2)2 – у 2 = 4.
№5. а) у = 
; б) у = (х 
+ arcsin x) 
.
№6. а) у – 3 = С cos3x – 3 sin x cos2x; б) у = 
. №7. а) х 3 + 2ху – 3у = С;
б) 
+ у 
= 2.
Тема 18. №1. а)у = - ln |cos x|; б) у = х 3 + 3х; в) у = 
; г) у = ± 
.
Тема 19. №1. а) у = С1е х + С2е – 2х; б) у = (С1 + С2х) е х; в) у = (С1cos 3x + C2sin 3x) e 2x;
г) у = (С1 + С2х) cos x + (C3 + C4x) sin x. №2. а) у = С1cos x + C2sin x + (2х – 2) е х;
б) у = С1 + С2х + (С3 + х) е – х + х 3 – 3х 2.
Тема 20. №1. а) сходится; б)расходится; в) расходится; г) сходится; д) сходится;
е) сходится; ё) сходится; ж) сходится; з) сходится. №2. а)сходится условно;
б) сходится условно; в) сходится абсолютно.
Тема 21. №1. а) – 1 < x ≤ 1; б) – 5 ≤ x < 3; в)- ∞ < x < +∞; г) х = 0; д) 
≤ x ≤ .
Тема 22. №1. 
= 
(- 3 < x < - 1). №2. а) 
(- ∞ < x < +∞);
б) 1 + 
( | х | < 1); в) 
. Указание. Воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии; г) 
( | х | < ). Указание. Разложить данную дробь
на простейшие. №3.arcsin x = х + 
. №4. ln 
. №5. sin 1 ≈ 0,8417
с точностью до 0,0002. №6. 0,999848. №7. 3,1416.
Ответы к домашним заданиям.
Тема 1. №1. а) ; б) 0. №2. log 3 4. №3. “+”. №4. D(y) = (0; 2) (3; + 
).
№5. tg 
= - 
, cos = 
, sin = - 
. №6. а) 2cosec ; б) 
; в) 
; г) 1;
д) 
. №7. 9. №8. 4 .
Тема 2. №1. а) – 0,5 + 1,5i;б)– 1; в) 2 i;г) 8; д) 
+ i 
, - 1 + i,
- - i ; е) 1 ± i, - 1 ± i. №2. а) ± 2i; б) 3 ± 3i; в) 4 ± i, - 4 ± i.
Тема 3. №1. а) Ø; б) (- 5; - 4) (0; 5); в) (0; 1) (1; 3). №2. а) (- ∞; 9]; б) [3- 16; + ∞).
№3.
 |  | ||
Тема 4. №1. а) эллипс с центром (2; - 1) и полуосями a = 2, b = ; б) парабола
с вершиной (2; - 3) и ветвями, направленными влево; в) окружность с центром
(- 5; 2) и радиусом 4; г) гипербола с центром (- 5; 1) и полуосями a = 8, b = 6.
№2. х 2 + (у – 4) 2 = 16. №3. 
+ 
= 1. №4. 
= 1. №5. у 2 = 4х.
Тема 5. №1. N0(ε) =
; 1; 3; 8. №2. δ(ε) = 2ε; 0,2; 0,06. №4. а) 3; б) 4;
в) 0,5; г) - ; д) 
; е) при х → ∞; - 2 при х → - ∞;ё) 1; ж) 
; з) – 1; и) 
;
й) – 3; к) 4; л) ; м) 6 
; н) 1; о) е – 4; п) е 10; р) – 2; с) 
; т) 
; у) - 
.
Тема 6. №1. а) х = 1 – точка разрыва 1-го рода; б) х = - 1 – точка устранимого разрыва, х = 1 – точка разрыва 2-го рода; в) х = πп – точки устранимого разрыва,
х = + πп – точки разрыва 2-го рода, п Z.
Тема 7. №1. а) 
; б) 3х ln 3. №2. а) - 
; б) 
; в) 
;
г) 6 ln 2 · 
· x + ctg x; д) 
; е) 
+ arctg x · x arctg x – 1.
№3. 
. №4. а) cos ; б) ln n 2 (2 x + (- 1) n2 – x); в) 
.
Тема 8. №1. 
е 3х – 5 dx. №2. а)1,077; б) 1,0349.
Тема 9. №1. а)2; б) 0,5; в) 1; г) ; д)3; е) 
.
Тема 10. №1.у = 2х + при х → + ∞, у = 2х - при х → - ∞. №2. Возрастает при
х (- 2; 0), убывает при х (0; 2). №3. уmax 
= 0,2. №4.Выпукла вниз при
х (- ∞; - 
) (1; + ∞), выпукла вверх при х (- ; 0) (0; 1), х = - - точка перегиба, в точке х = 0 перегиба нет.
№5. а) 
б) 
в) 
г)
Тема 11. №1.х 2 + у 2 > 4 – внешность круга с центром (0; 0) и радиусом 2.
№2. их' = - 
, иy' = - 
,
иz' = 
. №3.9,36. №4. 
. №5. gradz (M0) = 0,3i ,
| gradz (M0) |= 0,3.
Тема 12. №1.min y = y 
= - 9,75, max y = y(8) = 24. №2.0,3 м; V = 0,486 м 3. №3. 
.
№4. а)М(1; 2) – точка минимума, z(М) = - 7; б) М 
- точка максимума,
z(М) = 
. №5.zmin 
= ln (4 - ), zmax 
= ln (4 + ).
№6. zmin (1; 1) = 2. №7.(0; 500).
Тема 13. №1. а) 
-3х + 6 - ln |x| + C; б) 5 tg x + 2 ctg x + C; в) 
+ С;
г) 2 + ln 2x + С; д) 
+ С; е) arcsin 
+ C; ё) х arcsin x + + C;
ж) (х 2 – 2) sin x + 2x cos x + C; з) х 2 + х sin 2x + cos 2x + C; и) 
- ln 
;
й) е х (sin x – cos x) + C; к) 5х + ln 
+ C; л) х 3 + х 2 – х + 
arctg 
+ C;
м) 3 ln 
+ 2 arctg 
+ C; н) 
+ 
+ 2 ln 
+ C;
о) 
+ arctg + C; п) ln 
+ 
arctg 
+ C;
р) 
+ 
- arctg x + С; с) cos 8 
cos 6 + C; т) 
+ 
;
у) 
+ 
+ С; ф) 
sin 
+ 3 sin 
+ C; х) ln 
+ C;
ц) – 2 arctg 
+ C; ч) 
+ С; ш) 2 arcsin x (2 – x 2) 
+ C;
щ) arcsin 
+ C.
Тема 14. №1. а)33 ; б) ; в) 
(4 - 3) – ln .
Тема 15. №1. а) π; б)расходится.
Тема 16. №1. а)20 
; б) π. №2. 
. №3. 
.
Тема 17. №1. а) ln |x| = C + 
; б) 2 
= 1 + е х; в) у = С 
; г) у = х 
;
д) у = х (С + sin x); е) у = 
; ж)у (е х + Се 2х) = 1; з) х 3у – 2х 2у 2 + 3у 4 = С.
Тема 18. №1. а)у = 3 ln x + 2х 2 – 6х + 6; б) у = х 2; в) 2у 2 – 4х 2 = 1.
Тема 19. №1. а)у = С1е 2х + е – х (С2cos x + C3sin x); б) у = С1е х + С2е – х + С3cos x +
+ C4sin x; в) у = С1 + С2х + С3х 2 + е 3х (С4 + С5х); г) у = С1е х + С2е – х + С3е 2х + С4е – 2х;
д) у = (С1 + С2х) е – 2х + 
е 2х;
е) у = С1cos x + C2sin x + C3cos 2x + C4sin 2x 
x cos x.
Тема 20. №1. а) расходится; б) расходится; в) сходится условно; г) расходится;
д) сходится абсолютно; е) расходится; ё) сходится; ж) расходится; з) сходится.
Тема 21. №1. а) – 1 ≤ х < 1; б) 2 ≤ х < 3; в) 
≤ х ≤ .
Тема 22. №1. cos = 
. №2. а)2 
;
б) 
х п ( | х | < 1). №3. arctg x = 
х 2п + 1. №4. 
( | х | < 1).
№5. 1 + 
ln (1 – х) ( | х | < 1). №6. а) 0,607; б) 0,158.