Марковская СМО с очередью ограниченной по длине
Рассмотрим СМО классифицируемую по Кэндаллу следующим образом: М/М/n/m<. Это означает: распределение интервала между требованиями - экспоненциальное; распределение времени обслуживания – экспоненциальное; число каналов обслуживания – n; очередь ограничена. Примем, что очередь ограничена по длине числом m.
Такая СМО функционирует следующим образом: на входе – простейший поток требований с интенсивностью λ; значит, в любой момент времени на участке Δt может возникнуть требование с вероятностью (λ 
Δt); требование на Δt может быть только одно; одновременно могут обслуживаться не более n требований.
очередь допускается не более, чем m; если требование приходит когда все каналы заняты, то оно становится в очередь, если там есть свободное место; если все места в очереди заняты, требование получает чистый отказ.
Для характеристики такой системы целесообразно использовать число требований, находящихся в системе в момент времени t , т.е. случайный процесс K(t) ={0,1,…,n,n+1,…,n+m}.За счет ограничения длины очереди число состояний процесса конечно. Из описания системы видно, что процесс К(t) это процесс размножения и гибели с параметрами:
λ=const, 
к – интенсивность размножения
интенсивность гибели
Рис. …..
Подставляя 
и 
в уравнения процесса размножения и гибели, получим систему уравнений описывающих состояния рассматриваемой СМО:
(6.1)
. Разделение уравнений на участки по переменной «к» объясняется тем, что интенсивность обслуживания требований не может быть выше, чем nν.
Вероятности состояний зависят от времени. Если система задействована давно, в ней может, как быть, так и не быть стационарный режим. В данном случае, так как число непериодических (шаг по «к» равен 1). состояний конечно, в СМО должен иметь место стационарный эргодический режим, который можно называть режимом статистического равновесия. В этом (предельном) режиме все вероятности состояний постоянны, а их производные, соответственно, равны нулю, и уравнения системы принимают вид:
(6.2)
(6.3)
Используя, как и выше, Z 
- подстановку, получим (см. уравнение размножения и гибели):
(6.4)
" 1 
(6.5)
где 
, где
(6.6)
1/ 
- среднее время обслуживания одного требования (в соответствии с экспоненциальным законом распределения)
ρ – среднее число требований, пришедших за время обслуживания одного - коэффициент загрузки системы, он показывает, насколько система загружена.
В частности если система одноканальная, то:
при ρ<1 - система в среднем успевает обслуживать требования (очередь будет, но не будет тенденции к неограниченному ,накоплению требований).
при ρ>1 - система перегружена, не справляется (есть тенденция к неограниченному ,накоплению требований, а при ограничении очереди к неограниченному увеличению числа отказов).
Во все уравнения системы входит вероятность P 
, которая ищется из нормирующего условия 
:
, 
(6.7)
, (6.8)
(6.9)
P = 
(6.10)
Напомним, что 
- сумма членов геометрической прогрессии с коэффициентом ( 
/n) , который в n-канальной системе имеет смысл коэффициента загрузки одного канала (см. выше), и ,следовательно, должно быть меньше, чем число каналов, иначе система с потоком требований не справится: ( /n) <1. Это условие в n-канальной системе, как правило, должно выполняться.
(6.11)
Напомним, что вышеприведенная систем алгебраических уравнений получена для стационарного режима.
Найдем наиболее употребительные числовые оценки состояния СМО, могущие использоваться в качестве локальных критериев (показателей состояния).
1. Среднее число требований ( точнее, математическое ожидание этого числа), находящихся в системе (на обслуживании и в очереди): 
,
2 Среднее число занятых каналов: 
3 Средняя длина очереди: M[ ] = m 
(6.12)
4.Вероятность того, что заняты все каналы 
(6.13)
5. Вероятность отказа:
(6.14)
6. Интенсивность потока отказов: 
7. Распределение времени ожидания в очереди- (случайная величина смешанного типа)
Пусть Т - время ожидания в очереди.
Тогда:
7.1. Функция распределения времени ожидания в очереди.
(6.15)
= 
(6.16)
Pk(T>t) – - вероятность того, что время ожидания >t, если в системе k требований
Вводим 
, и после очевидных преобразований приводим формулу к одинарной сумме:
:
(6.17)
(6.18)
- вероятность того, что хотя бы один канал свободен
7.2. m 
– среднее (математическое ожидание) время ожидания в очереди - одна из важнейших характеристик СМО.
, так как вероятность ждать больше чем 
равна нулю.
(6.19)
- гамма-функция
+
см. формулу для средней длины очереди
- средняя дина очереди
Рассмотрим 2 частных случая:
1.) Очередь не разрешена (система с потерями, отказами). По Кэндаллу: M/M/n/m=0
Найдем характеристики этой системы в режиме статистического равновесия (стационарного распределения), подставив m=0 в формулы для рассмотренной выше СМО. В результате получим:
(6.20)
Эти формулы называются формулами Эрланга, а соответствующие им дифференциальные уравнения (при m =0 ) уравнениями Эрланга/
- характеризует эффективность использования системы; чем больше занятость каналов, тем СМО эффективней;
- вероятность отказа, показывающая насколько хорошо система справляется со входящим потоком;
- интенсивность потока отказов.
2.) Другой частный случай 
, т.е. очередь не ограничена. По Кэндаллу: M/M/n/m> . Найдем описание этой СМО аналогичным образом, подставляя m= . В итоге получим:
(6.21)
положим k – n = s , тогда :
(6.22)
Если 
, то ряд расходится и 
,
то есть вероятности всех состояний равны нулю, и значит стационарного режима нет. В этом случае система работает, непрерывно увеличивая среднею длину очереди .Обычно стараются проектировать СМО так, чтобы 
, так как очередь не ограничена.
вероятность, что все каналы заняты,
среднее время ожидания в очереди,
средняя длина очереди.