Скорость и ускорение точки
Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 21).
Положение движущейся точки 
относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени 
радиусом-вектором 
, который соединяет неподвижную точку 
с этой точкой. В другой момент времени 
движущаяся точка займет положение 
и ее радиусом-вектором будет 
. За время 
радиус-вектор движущейся точки изменится на 
.
Средней скоростью 
точки за время называют отношение 
, т.е.:
.
Средняя скорость параллельна вектору 
. В общем случае она зависит от времени осреднения . У нее нет конкретной точки приложения на траектории.
Введем скорость точки 
в момент , которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.
.
Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора при , стремящемся к нулю, т.е. по предельному направлению секущей 
, которая совпадает с касательной к траектории в точке . Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.
Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 21 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также 
с началом в точке 
. Радиусы-векторы имеют одинаковые изменения и 
за время и поэтому
. (44)
Пусть движущаяся точка в момент времени имеет скорость 
. В момент времени эта точка занимает положение , имея скорость 
(рис. 22). Чтобы изобразить приращение скорости 
за время , перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку .
Средним ускорением точки 
за время называют отношение 
, т.е. 
. Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости . Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной 
течки приложения и 
изображено в точке условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени .
Ускорением точки 
в момент времени называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.
. (45)
Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.
Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при , стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории.
Ускорение точки можно представить в виде (рис. 23):
. (46)
Часть ускорения, равная
,
называется касательной составляющей ускорения. Она направлена по касательной к траектории. Другая часть ускорения
называется нормальной составляющей ускорения ( 
– радиус кривизны траектории). Она направлена внутрь вогнутости траектории, перпендикулярно 
.
2.1.2. Векторный способ задания движения точки
Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором этой точки (рис. 24). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.
. (47)
Задание векторного уравнения движения (47) полностью определяет движение точки.
Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле:
. (48)
Для ускорения точки соответственно имеем
. (49)
Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки.