Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в дифференциальной форме

 

Для решения задачи о нахождении поля по известному неодно-родному распределению зарядов с плотностью (х, у, z) нужны уравнения, содержащие характеристики поля в одной его точке или в ее малой окрестности. Получим такое уравнение из интегральной теоремы Гаусса.

 

Для преобразования уравнения (1.5.5) применим к его левой части

 

теорему Остроградского – Гаусса, согласно которой поток вектора A сквозь любую замкнутую поверхность равен интегралу от его дивер-генции по объему, охватываемому этой поверхностью, т. е.

 

  AndS divAdV, (1.7.1)
S V  

где divA A Ax Ay Az – дивергенция вектора A.

 

x y z


 


Правую часть теоремы Гаусса (1.5.5) можно выразить через объ-емную плотность заряда:

 

      qdV.       (1.7.2)  
      V          
Тогда теорема Гаусса примет вид:          
         
EndS     qdivEdV     dV. (1.7.3)  
     
S   V   V    

 

Поскольку поверхность S, а следовательно, и объем V, по которо-му проводится интегрирование, являются произвольными, то из по-следнего уравнения получим:

 

         
divE   . (1.7.4)  
   
       

Уравнение (1.7.4) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в вакууме в дифференциальной форме.


Лекция № 3

 

1.8. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

1.9. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля в интегральной и дифференциальной формах.

 

1.10. Потенциал. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции для электростатических потенциалов.

1.11. Связь между напряженностью и потенциалом. Эквипотенци-альные поверхности.

 

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

 

На помещенный в электростатическое поле напряженностью E пробный заряд qпр действует сила F qпрE. Если заряд перемещается в

 

поле из точки 1 в точку 2, сила F будет совершать работу. Поскольку любое заряженное тело, создающее поле, можно рассматривать как со-вокупность точечных зарядов, то для вычисления работы в любом элек-тростатическом поле определим вначале работу по перемещению проб-ного заряда qпр в поле точечного неподвижного заряда q (рис. 1.8.1).

 

      F  
  E      
dr   dl  
       
1 qпр   2  
r        
r1 r2      

q

 

Рис. 1.8.1

 

 

Элементарная работа, которая совершается силами поля над заря-дом qпр при перемещении, будет равна:

 

          qпрq     qпрq    
dA Fdl q Edl q Edl cos       dl cos       dr,(1.8.1)  
             
  пр   пр 4 0   r 2   4 0   r2    
                 

где dlcos = dr.


 

 


Теперь найдем работу по перемещению заряда qпр между точка-ми 1 и 2:

 

r2     qqпр   qqпр r2 dr   qqпр            
A12 dA         dr       r2                 . (1.8.2)  
r 2 r r  
r           r                  
                                       

 

Из формулы (1.8.2) видно, что работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, по которой пере-мещается заряд, а определяется только его начальным и конечным по-ложениями. Следовательно, электростатическое поле является потен-

циальным,а электростатические силы– консервативными .