Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлек-трике. Вектор электрического смещения

Рассмотрим плоскопараллельную пластинку из изотропного диэлек-трика, помещенную в однородное электростатическое поле. Под действи-ем поля диэлектрик будет поляризоваться. Выделим в поляризованном


 


диэлектрике элементарный объем V в виде наклонной призмы, осно-вания которой выходят на поверхности диэлектрической пластинки

 

(рис. 2.7.1).

 

n

Pn P  
  + =  
  S  
     
pe    
E l  
  A  
     
    V = S lcos  

 

– = –

 

Рис. 2.7.1

 

С одной стороны, дипольный момент pe выделенного элементарного объема равен произведению поляризованности Р на величину его объема:

N

pe pei P V P S l cos . (2.7.1)

i 1

 

С другой стороны, поверхностные заряды на основаниях призмы образуют электрический диполь. Его дипольный момент равен:

 

pe       (2.7.2)  
q lS l.    
Сравнив формулы (2.7.1) и (2.7.2), получим:      
        (2.7.3)  
PSl cosSl P cos Pn,  

т. е. поверхностная плотность связанных зарядов некоторой элементар-ной площадки равна нормальной составляющей вектора поляризации.

 

Формула (2.7.3) показывает, что нормальная составляющая Рn представляет по величине количество электричества, смещаемое при поляризации через единичную площадку в направлении нормали n к ней. Эта интерпретация применима и в случае неоднородной поля-

 

ризации, когда вектор P меняется от точки к точке. В этом случае ди-электрик можно разделить на малые объемы, в пределах каждого из которых поляризация может считаться однородной.

 

Внутри диэлектрика на внешнее электрическое поле E0 наклады-вается дополнительное электрическое поле E связанных зарядов.


 


Определим значение избыточного связанного заряда, который возни-кает при поляризации диэлектрика внутри произвольной заданной замкнутой поверхности S (см. рис. 2.7.2).


 

 

dS


E

 

 

En


 

V qсв

 

S

 

Рис. 2.7.2

 

Под действием электрического поля связанные заряды молекул, находящихся вблизи поверхности S, сместятся так , что их положи-тельные и отрицательные заряды будут находиться по разные сторо-ны поверхности S. Заряд dq , смещенный при поляризации через

 

площадку dS в направлении нормали, согласно формуле (2.7.3) равен PndS.Через всю поверхность S в направлении нормали n будет сме-щаться заряд

 

qdqPndS. (2.7.4)

S S

В результате объем V диэлектрика, заключенный внутри замкну-той поверхности S, приобретет избыточный связанный заряд, равный по значению и противоположный по знаку наружному поверхностно-му заряду:

 

qсв q PndSPdS. (2.7.5)
S S  

 

Применим теорему Гаусса (1.5.5) к замкнутой поверхности S, добавив при этом к свободным зарядам q избыточный связанный за-ряд qсв :

 

        q qсв                          
  EdS               EdS q PdS      
             
S                 S       S          
    0                  
  PdS EdS q     P 0 E dS q. (2.7.6)  
  S           S             S            

 


Величину D 0E P назвали вектором электрического смеще-

ния (единица измерения в системе СИ[D] =Кл/м2).Вектором элек-трического смещения D описывается электрическое поле, создавае-

 

мое свободными зарядами. Поле вектора электрического смещения изображается с помощью линий электрического смещения, направле-ние и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Если линии вектора напряженности могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, то линии вектора электрического смещения начинаются и заканчиваются толь-ко на свободных зарядах.

Из выражения (2.7.6) следует:      
      Dn dS q.    
DdS q,или (2.7.7)  
S     S    

 

Выражение (2.7.7) является теоремой Гаусса для электростати-

 

ческого поля в диэлектрике:поток вектора смещения электрическогополя в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность ра-вен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

 

Если правую часть теоремы Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (2.7.7) выразить через объемную плотность заряда ( q dV ) и применить к выражению Dn dS теорему Остроградско-

 

V     S    
го – Гаусса, то получим:          
         
divDdVdV   divD . (2.7.8)  
V V        

 

Уравнение (2.7.8) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в диэлектрике в дифференциальной форме.