Непрерывность элементарных функций

Лекция 3. Непрерывность функции

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке х₀, то отмечали, что х₀ – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Кроме того, когда говорили, что х стремится к х₀, не требовали, чтобы х = х₀, хотя при вычислении предела прежде всего вычисляли значение функции в предельной точке. Особый интерес представляет именно случай, когда х₀ÎD(f) , х принимает значение х₀ и .

Определение 3.1. Пусть х₀ – точка из области определения функции. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если

Если это условие не выполняется, то функция имеет разрыв в точке х₀

Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x₀+0) и f(x₀–0) и эти пределы равны между собой. Тогда критерий непрерывности функции в заданной точке может быть сформулирован так.

Теорема 3.1.(Критерий непрерывности)

Функция f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда функция определена в этой точке, существуют конечные односторонние пределы f(x₀+0) и f(x₀–0) и выполняется равенство

f(x₀+0) = f(x₀–0) = f(x₀).

Отсюда следует алгоритм исследования непрерывности функции в заданной точке:

1) проверить существование f(x₀);

2) проверить существование конечных односторонних пределов f(x₀+0) и f(x₀–0);

3) проверить равенство f(x₀+0) = f(x₀–0);

4) проверить равенство f(x₀+0) = f(x₀–0) = f(x₀).

Если все условия выполнены, то функция в точке х₀ непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х₀ терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если существуют конечные односторонние пределы f(x₀+0) и f(x₀–0) , но f(x₀+0) ¹ f(x₀–0).

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (например, равен ¥).

Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные пределы f(x₀+0) и f(x₀–0) и

f(x₀+0) = f(x₀–0) ¹ f(x₀).

Из сформулированного выше алгоритма и определения 3.2 следует, что если не выполнено первое условие алгоритма (функция в точке х₀ не определена), то можно только сделать вывод, что в этой точке функция терпит разрыв. Характер же разрыва определяется при проверке условий 2 – 4 алгоритма.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).

Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв – первого рода, при этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

w = | f(x₀+0) – f(x₀–0)|

называется скачком функции в точке х₀.

Рис.9

Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 или 1, то функция имеет устранимый разрыв (рис.10)

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем следующую терминологию. Если при своем изменении переменная х от значения х₀ перешла к значению х₁, то говорят, что х получила приращение

Dх = х₁ – х_0.

При этом функция у = f(x) также получит приращение

Dу = f(x₁)– f(x₀) = f(x₀+Dх) – f(x₀),

где х₁ = х₀+Dх, а f(x₀+Dх) = f(x₀) + Dу – новое, приращенное, значение функции.

Определение 3. 3.Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если х₀Î D(f) и малому приращению функции соответствует малое приращение аргумента, т.е.

Можно доказать, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Действительно, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x₀| < d Þ | f (x) – f (x₀) | < e. Но так как х – х₀= Dх, а f(x)– f(x₀) = Dу, то получаем " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e. Это значит, что .

Наоборот, если , то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e, откуда, учитывая Dх = х – х₀ и Dу = f(x)– f(x₀), получим " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x₀| < d Þ | f (x) – f (x₀) | < e. А это значит, что . ЧТД.

Определение 3.4.Функция, непрерывная в каждой точке отрезка [a; b], называется непрерывной на этом отрезке.

Множество точек, в которых данная функция непрерывна, называют областью непрерывности этой функции.

Непрерывность элементарных функций

Сформулируем основные свойства непрерывных в точке функций в виде теорем.

Теорема 3.2.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Доказательство: Рассмотрим, например, линейную функцию у = ах +b. Область определения этой функции (–¥, +¥). Возьмем произвольную точку х = х₀ из области определения, придадим переменной х приращение Dх и рассмотрим соответствующее приращение Dу функции

Dу = (а(х₀ + Dх) +b) – (ах + b)) = аDх.

Тогда , что, согласно определению 3.3, и означает непрерывность линейной функции в точке х₀, т.е. в произвольной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sinx, xÎ R. получаем для любого х:

что также означает непрерывность функции у = sinx в произвольной точке х области определения.

Для остальных элементарных функций доказательство аналогично.

Теорема 3.3

Если функции f(x) и g(x) определены в области D и непрерывны в точке х₀ÎD, то в этой точке также непрерывны функции f(x) .g(x), f(x) ± g(x), , если g(x₀) ¹ 0.

Доказательство: Эти утверждения следуют непосредственно из определения непрерывной в точке функции и свойств пределов (теорема 2.5).

Например, если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то и . Тогда, по теореме 2.5,

что и означает непрерывность частного в точке х₀.

Непрерывность суммы, разности и частного доказать самостоятельно.

Теорема 3.4.

Пусть функция j(х) определена на множестве D, а функция f(у) определена на множестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке х₀ÎD, а f(у) непрерывна в точке у₀ = j(х₀), то сложная функция f(j(x)) непрерывна в точке х₀. (без доказательства)

Учитывая определение элементарной функции, из теорем 3.2, 3.3 и 3.4. получаем

Следствие.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом, областью непрерывности всякой элементарной функции является ее область определения.

Из теоремы 3.4 следует еще одно важное свойство – возможность перехода к пределу под знаком функции:

Например,

Далее ⇒