Общий метод вычисление коэффициентов

Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.

Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).

Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным смещениям введенных связей, и обозначим через`M_i⁰и`M_j⁰соответствующие им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).

Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:

A₁₂= r_ii· θ_ij + r_ji·δ_jj = r_ii· 0 + r_ji·1 = r_ji .

Учитывая, что в силу (3.15)

A₁₂ = – W₁₂ = – Sò(`M_i⁰·`M_j⁰/EJ ) ds,

получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:

r_ij = r_ji = Sò(`M_i⁰·`M_j⁰/EJ )ds . (6.4)

Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:

d_ij = (`M_i⁰´`M_j⁰) = Sò (`M_i⁰×`M_j⁰ /EJ)ds,

и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в методе перемещений также вычисляются по формуле, аналогичной (4.5):

D_ip⁰= (`M_i⁰´`M_p⁰) = Sò (`M_i⁰×`M_p⁰ /EJ)ds.

В действительности это не так: R_ip⁰≠ (`M_i⁰´`M_p⁰), а (`M_i⁰´`M_p⁰) = 0.

Рассмотрим снова два состояния основной системы МП, и пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i-й связи (рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k-й точке этой системы (рис. 6.6, д).

z_i =1

z_j =1

P_k =1

z_j=1

св j

св i

Рис. 6.6

Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю:

A₁₂= r_ii · θ_ip+ r_ji · δ_jp = r_ii · 0 + r_ji · 0 = 0,

а поскольку A₁₂= A₂₁, то

A₂₁ = P · d_pi + r_ip· θ_ii = 0,

откуда

r_ip = – d _pi.

То есть реакция в i-й связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k , равна взятому со знаком минус перемещению точки приложения силы от единичного смещения этой связи.

Это утверждение носит название второй теоремы Релея.

Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:

R_ip⁰ = – S P_k · d_ki. (6.5)

Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе, на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.

Примечание

Поскольку A₁₂= 0, а A₁₂= – W₁₂, то действительно: (`M_i⁰´`M_p⁰) = – W₁₂ = 0. При этом нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:

R_ip⁰= (`M_i⁰´ M_p⁰) = – Σ(`M_i⁰´ M_p⁰/ EJ)ds,

где `M_i⁰ – это по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i-й связи, а M_p⁰– эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра, приведенная на рис. 6.6, е.

Легко убедиться, что в этом случае значение R_ip⁰= – 3Pl/16 совпадает с табличным значением, указанным на рис. 6.4.

ГЛАВА 7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

⇐ Назад

Далее ⇒