Предельные теоремы в схеме Бернулли

Производится независимых испытаний, причем в каждом из них с вероятностью появляется событие А. Требуется:

а). Найти вероятность того, что событие А появится не менее и не более раз (табл.1);

б). Найти значение наивероятнейшего числа появления события А и вычислить его вероятность (табл.1);

в). Найти вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз (табл.2).

 

ТАБЛИЦА 1.

 

№ n p k l   № n p k l
0.1   0.4
0.2   0.6
0.2   0.6
0.4   0.7
0.6   0.8
0.6   0.9
0.7   0.1
0.8   0.2
0.9   0.3
0.1   0.4
0.2   0.6
0.3   0,5
0,4   0,4
0,6   0,3
0.3   0.6

ТАБЛИЦА 2.

 

№ n p   № n p   № n p
0,02   0,02   0,003
0,001   0,01   0,001
0,02   0,02   0,007
0,01   0,01   0,006
0,01   0,003   0,009
0,03   0,003   0,008
0,04   0,004   0,025
0,03   0,006   0,015
0,02   0,01   0,015
0,01   0,001   0,004

ЗАДАЧА №5.1

Дискретные случайные величины.

Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем .

 

№
0,6 0,1 0,1 16,16
0,3 0,3 0,1 12,96
0,3 0,1 0,4 12,69
0,2 0,3 0,4 9,00
0,1 0,1 0,1 12,56
0,5 0,1 0,2 4,04
0,3 0,1 0,3 12,96
0,2 0,1 0,1 2,76
0,3 0,1 0,1 3,20
0,2 0,4 0,1 13,44
-1 0,1 0,3 0,1 5,76
0,1 0,6 0,2 3,36
0,3 0,3 0,2 2,49
0,4 0,1 0,1 10,44
0,2 0,4 0,3 20,25
0,1 0,5 0,2 7,65
0,5 0,2 0,1 22,40
0,3 0,2 0,1 26,24
0,7 0,1 0,1 9,36
0,6 0,1 0,1 9,09
0,2 0,2 0,4 34,00
0,2 0,3 0,4 13,44
0,3 0,3 0,2 16,80
-4 0,5 0,3 0,1 5,76
0,2 0,1 0,2 11,20
0,5 0,2 0,1 22,40
0,3 0,2 0,1 26,24
0,7 0,1 0,1 9,36
0,6 0,1 0,1 9,09
0,2 0,2 0,4 34,00

 

 

Задача №5.2.

Дискретные случайные величины.

В ящике находится шаров, из которых - белые. Наудачу извлекаются 3 шара.

а). Найти закон распределения случайной величины Х – количества белых шаров среди извлечённых.

б). Построить многоугольник распределения.

в). Найти функцию распределения случайной величины Х и построить её график.

г). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Исходные данные приведены в таблице.

 

№

ЗАДАЧА №6.1

Непрерывные случайные величины.

Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Определить:

1) дифференциальную функцию ;

2) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

3). построить графики и .

 

№ Интегральная функция № Интегральная функция
при   при  
при при  
при при
, при при
, при при
при   при  
при   при  
при при
при при
при   при  
при   при  
при   при  
при   , при
при   при  
при   при  

 

Задача№6.2

Непрерывные случайные величины.

Дана плотность распределения случайной величины Х. Определить:

1. коэффициент с;

2. функцию распределения F(x);

3. математическое ожидание М(х);

4. дисперсию D(x);

5. среднее квадратическое отклонение ;

6. построить графики F(x) и f(x).

 

№   №  

 

Математическая статистика.

ЗАДАЧА №7

В результате эксперимента получены 40 данных, записанных в виде статистического ряда. Требуется:

а) Записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

б) Найти размах варьирования и разбить его на 6 интервалов;

в) Построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

г) Найти числовые характеристики выборки ;

д) Приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости ;

е) Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .

 

Указание: Значения элементов выборки расположены в столбцах таблицы 3. Номер столбца, относительно которого необходимо проводить вычисления, совпадает с последней цифрой учебного шифра.

 

 

ТАБЛИЦА 3

 

 

 
15.9 20.1 18.3 18.6 20.1 18.2 17.3 19.0 16.9 18.2
16.8 21.2 19.5 19.3 20.4 17.8 18.0 20.3 16.7 18.2
13.2 17.6 17.3 14.5 18.4 16.1 15.8 16.5 14.5 15.8
15.5 20.1 19.1 16.7 20.9 18.6 16.9 19.4 15.3 18.0
14.6 18.8 17.8 17.1 19.6 17.5 16.3 18.3 15.8 17.4
15.6 20.0 19.1 17.2 20.5 18.7 18.0 18.6 16.5 17.9
16.9 20.7 20.1 20.3 20.4 19.6 18.5 20.8 18.2 19.3
14.1 18.4 17.3 17.7 19.1 17.9 16.9 18.1 16.4 16.8
13.6 18.3 16.6 17.3 18.7 16.6 16.0 17.4 17.0 17.4
15.2 20.2 19.4 16.2 19.8 16.8 16.2 19.3 15.2 17.5
15.0 18.6 18.7 17.4 19.5 18.8 16.7 18.7 16.7 18.4
14.9 19.0 18.5 17.7 19.5 18.8 17.2 18.7 16.7 17.8
16.6 19.0 19.6 17.9 20.3 18.8 16.5 19.2 15.5 18.4
12.7 17.4 16.8 16.5 18.1 16.2 15.1 18.3 15.4 16.5
16.1 19.3 18.7 18.2 20.9 19.8 16.8 19.0 16.6 18.9
14.2 19.0 18.4 16.9 19.2 17.4 16.3 19.4 15.5 17.1
16.6 21.1 19.7 19.7 20.8 20.1 18.5 20.5 18.5 19.4
15.1 19.2 18.2 18.0 20.2 18.9 17.0 19.0 16.6 18.2
17.0 21.9 21.8 20.0 20.9 20.9 20.2 22.6 17.9 19.2
16.9 21.4 19.2 18.2 21.1 18.6 17.8 19.3 16.4 18.1
16.7 21.1 19.3 20.0 20.4 19.3 18.8 19.7 18.7 19.1
14.3 19.1 16.6 18.4 19.0 17.9 17.1 17.1 18.8 18.1
11.3 16.6 14.9 13.7 17.8 14.6 14.6 15.2 13.9 14.5
16.0 19.1 19.9 18.1 19.2 17.2 15.9 20.3 15.4 17.9
16.8 21.4 20.8 19.4 20.4 19.0 18.9 21.1 17.6 19.0
13.6 20.1 17.9 17.6 18.6 15.7 16.9 19.9 16.2 16.4
17.6 21.5 20.8 20.5 21.2 20.4 19.5 21.0 18.3 19.9
14.6 18.2 18.6 18.5 19.2 18.8 17.2 19.4 17.0 18.5
14.2 18.8 17.2 16.6 19.6 17.4 16.8 17.8 14.9 16.4
14.4 19.0 19.1 17.6 18.4 16.7 15.4 20.6 15.7 17.2
14.7 19.6 17.9 17.0 20.1 18.4 17.4 18.3 16.2 17.3
15.4 20.3 19.1 18.0 19.3 17.8 17.8 19.3 17.1 17.7
17.6 21.9 20.8 21.0 21.0 20.2 18.7 22.6 17.8 19.4
14.5 19.7 18.8 17.3 18.8 17.0 17.2 19.0 16.7 17.3
14.2 18.3 17.6 17.2 18.9 17.0 15.4 19.0 15.1 17.0
16.6 21.6 20.5 18.8 20.8 18.7 18.4 21.2 16.9 18.6
13.3 17.8 17.5 16.6 18.1 17.3 16.3 17.6 16.6 17.0
14.7 20.0 20.2 17.7 18.8 18.0 18.4 20.1 17.7 17.9
12.9 17.0 15.1 15.5 19.1 17.1 14.7 15.9 14.9 16.4
15.3 19.6 17.5 17.4 20.7 18.6 16.5 18.6 15.3 17.5

 

ЗАДАЧА №8

В задаче №8 необходимо найти уравнение прямой линии регрессии Y на X и построить её. Значение Х выбирается из таблицы 4. Номер варианта соответствует столбцу, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра. Значение У выбирается из таблицы 5. Номер варианта соответствует столбцу, номер которого совпадает с предпоследней цифрой учебного шифра.

Указания: для составления уравнения прямой линии регрессии У на Х по данным Х и У необходимо вычислить выборочные средние , исправленные дисперсии и средние квадратические отклонения . Вычислить выборочный коэффициент корреляции . Записать уравнение прямой линии регрессии Y на X: или

ТАБЛИЦА 4

№ Х0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9
3.0 2.5 3.0 2.0 2.4 3.4 2.6 2.2 3.2 1.7
3.0 2.2 3.1 2.8 2.6 2.2 2.5 3.0 3.6 2.6
2.7 2.9 1.9 2.5 2.7 2.8 3.3 2.2 3.0 3.0
2.3 2.6 2.6 3.4 2.9 2.6 2.5 3.0 2.8 3.2
2.9 2.3 2.3 2.4 2.6 3.2 3.2 3.5 2.6 3.3
4.0 3.2 3.4 3.0 2.1 2.4 1.9 2.7 2.7 2.1
2.8 3.0 2.7 2.6 2.8 2.7 2.6 2.9 2.2 3.2
2.8 2.9 2.0 2.2 2.3 3.0 2.2 2.3 3.3 3.0
2.2 2.7 2.7 2.5 2.5 2.6 3.2 2.6 3.6 3.1
3.3 2.7 2.4 1.9 2.8 2.7 2.6 2.1 2.8 3.4
3.0 3.1 2.7 2.5 2.6 3.0 2.6 3.5 2.7 2.0
2.5 2.8 2.2 2.7 2.1 3.1 3.1 2.8 2.3 3.6
2.7 2.8 2.7 2.5 2.7 2.4 2.2 2.1 2.0 2.7
3.1 3.0 2.4 3.3 3.3 2.3 2.4 3.4 3.4 2.8
2.8 3.0 2.6 2.8 2.4 1.9 4.1 3.1 2.9 2.3
3.7 3.1 2.4 2.9 3.3 2.0 2.3 2.8 3.2 2.5
3.3 2.6 3.3 2.6 2.8 3.0 2.5 2.5 2.3 2.3
3.0 3.1 2.8 2.5 2.8 2.5 3.3 3.0 2.4 3.2
2.3 3.6 2.9 2.4 2.6 2.7 2.5 2.5 2.7 2.9
2.6 3.1 2.1 2.1 3.5 2.7 3.0 3.5 2.5 2.9
2.8 2.8 3.8 2.9 2.4 2.9 2.4 2.7 3.3 2.5
2.7 2.3 2.8 2.6 1.6 2.6 2.8 1.8 3.0 2.5
1.6 2.1 3.4 3.2 2.7 3.0 3.2 2.8 2.3 2.2
2.0 3.5 3.5 3.3 2.9 2.3 3.7 2.6 2.3 3.0
2.5 2.4 2.4 2.2 2.0 2.5 3.4 2.8 3.2 3.2

ТАБЛИЦА 5

№ Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9
3,5 2,0 3,9 5,7 3,6 5,0 3,8 4,2 4,7 4,8
3,8 1,7 5,2 4,7 4,5 4,4 4,7 4,5 5,3 3,7
4,2 4,6 3,2 5,0 4,7 5,1 5,6 5,5 3,9 4,3
4,7 3,5 4,1 5,5 5,8 4,2 4,2 5,5 3,9 5,2
4,8 4,9 4,2 5,3 3,9 3,6 4,7 2,8 4,4 4,4
5,2 5,5 2,7 4,5 5,0 5,2 5,1 4,3 2,7 4,3
4,1 4,6 4,0 6,0 4,5 4,4 4,9 5,1 2,9 7,0
3,2 5,0 4,6 5,4 4,4 4,5 4,8 3,8 4,5 1,6
4,7 3,5 4,4 4,2 4,3 6,3 7,0 5,1 4,1 3,0
5,1 5,5 2,8 5,0 4,4 2,6 4,6 3,7 5,0 3,7
3,1 6,9 4,2 5,5 4,8 4,9 6,2 4,2 4,1 6,9
4,2 6,9 5,3 2,7 4,0 5,5 4,6 3,3 3,9 3,9
5,3 3,2 4,0 5,7 4,7 5,5 4,1 5,2 4,5 5,5
4,2 4,4 6,6 4,0 5,4 5,1 5,2 4,8 3,9 3,0
3,8 3,8 4,4 4,6 2,8 3,8 3,1 5,8 3,7 5,2
3,1 3,6 4,9 5,5 5,3 5,0 4,1 5,3 4,6 5,1
4,3 4,2 3,8 4,8 3,9 5,9 4,9 3,8 4,7 5,2
5,6 5,8 4,2 3,8 3,0 3,6 1,2 3,5 3,2 5,9
4,8 5,8 5,4 3,6 5,3 6,5 5,8 4,6 4,8 3,4
5,3 6,1 5,7 5,7 4,9 4,8 3,3 1,8 4,2 4,7
4,9 6,3 7,5 5,4 2,9 3,7 6,5 3,7 5,5 5,5
4,6 3,1 4,7 3,7 5,3 4,5 5,4 2,7 6,4 4,2
5,1 5,8 5,1 3,7 3,9 5,2 6,2 4,2 4,2 3,7
5,5 4,9 5,0 7,0 2,9 2,6 4,3 4,9 3,6 5,4
6,2 4,1 4,3 3,2 3,9 5,0 3,6 1,9 4,4 3,8

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В.К., Севастьянов Б.К., Чистяков В.П. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1981г.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997 г.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1997.

4. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Часть 4. – Минск: Выш. шк., 2007. – 336 с.

5. Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Часть I: «Теориявероятностей» (для студентов всех специальностей) / Сост.: О.Б. Носовская, Л.С. Тонких, С.Е. Носовская. – Мариуполь, ПГТУ, 2009 (есть на сайте ПГТУ)

6. Методические указания по теории вероятностей для студентов-заочников / Сост. В.П. Сударев, С.П. Десятский. – Мариуполь, ПГТУ, 2002.

7. Буланчук Г.Г. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие. – Маріуполь, ПГТУ, 2010. (есть на сайте ПГТУ)

Сайт ПГТУ:http://pstu.edu/