Математический и физический маятники


 

 

Frупр


m


 

Рассмотрим несколько простейших систем , совершающих свободные гармони-ческие колебания.

1) Пружинный маятник − это матери-


 

υr Frупр

 

 

              x  
               
               
           
           
      Рис. 5.5.1  


 

альная точка массой m, подвешенная (или

 

 


 
Рис. 5.5.2

расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жест-костью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m, прикрепленная к пружине, со-вершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Oх Fупр =ma. Упругая сила Fупр = −kx. Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

ma =−kx или m d 2 x = −kx . (5.5.1)  
dt2  
             
Отсюда                
d 2 x + k x =0.     (5.5.2)  
dt2 m      
             

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

 

ω2 = k ⇒ ω = k . (5.5.3)  
     
  m m    
         

Так как период колебаний определяется по формуле T = 2π , то период

ω0

 

колебаний пружинного маятника

T =2π m . (5.5.4)  
k    
2) Математический маятник − это идеализированная система,  
состоящая из невесомой и нерастяжимой r  
нити, на которой подвешена материальная M  
O  
точка массой m. Отклонение маятника от  
положения равновесия будем характеризо- ω  
вать углом ϕ, образованным нитью с верти-  
калью. ϕ  
   
При отклонении маятника от положе- l  
ния равновесия возникает вращательный    
r    
момент M , равный по величине mglsinϕ.    
Он имеет такое же направление, что стре- l sinϕ  
мится вернуть маятник в положение равно-  
   
mgr  
   


весия. Следовательно,   выражение M для  
вращательного момента имеет вид: =  

= −mglsinϕ. Применим основное уравнение динамики вращательного движения

 

M = Iε, (5.5.5)

 

где I = ml2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая,

что угловое ускорение ε = d 2ϕ , получим              
dt2              
                       
ml 2 d 2ϕ = − mgl sin ϕ d 2ϕ + g sin ϕ= 0 . (5.5.6)  
dt2    
dt2             l    
Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим  
d 2ϕ + g ϕ= 0 ⇒ d 2ϕ          
        +ω ϕ= 0 . (5.5.7)  
         
dt2   l     dt2          
                 

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математиче-ского маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

 

ω2 = g ω = g . (5.5.8)  
     
  l l    
           
Период колебаний математического маятника    
    T =2π l .     (5.5.9)  
           
        g        

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, прохо-

r   дящей через точку, не совпадающую с цен-  
N   тром масс тела. При отклонении маятника  
h    
  от положения равновесия на угол ϕ возни-  
O    
α l   кает вращательный момент, стремящийся  
  вернуть маятник в положение равновесия.  
  C Этот момент равен M = −mglsinϕ.  
r Согласно основному уравнению ди-  
O намики вращательного движения получаем  
F  
r    
  p    


Рис. 5.5.3 52


Iε= M I d 2ϕ = −mgl sin ϕ, (5.5.10)  
dt  
       

 

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей че-рез точку подвеса.

 

Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим

 

d 2ϕ + mgl ϕ= 0 d 2ϕ2 (5.5.11)  
      +ω ϕ= 0 .  
dt2   I     dt2    
           

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

ω2 = mgl ω = mgl .   (5.5.12)  
I             I      
                         
Период колебаний математического маятника      
  T =2π         I .     (5.5.13)  
                   
              mgl        
Из сопоставления формул периодов колебаний математического  
и физического маятников T = 2 π     l   и T = 2 π I получается, что  
  g   mgl  
                   
математический маятник с длиной                          
  l =         I .     (5.5.14)  
                 
  пр       ml        

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

 

Величина lпр (отрезок OO′) называется приведенной длиной фи-зического маятника −это длина такого математического маятника,период колебаний которого совпадает с периодом данного физиче-ского маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с цен-тром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вра-щения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точ-ка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса ста-новится новым центром качания.


 

 



  • Далее ⇒