Математическая модель процесса обучения
В основе структурной организации интегрированных обучающих систем лежит математическая модель процесса обучения. На понятийном уровне ее можно сформировать следующим образом:
1) на основании текущего состояния обучаемого и методики обучения генерируется очередная задача, требующая ответных действий обучаемого;
2) ответ обучаемого сравнивается с эталонным решением и на основании различий диагностируются ошибки обучаемого;
3) по результатам диагностики корректируются текущие характеристики обучаемого.
В соответствии с математической моделью адаптивного обучения информационную систему можно рассматривать как совокупность трёх взаимосвязанных подсистем:
1) по решению задач в изучаемой предметной области;
2) по диагностике ошибок обучаемого;
3) по планированию процесса управления обучением.
С, U – каналы управления обучением.
Q – относительный вес обучающей информации.
Y – канал обратной связи в виде результатов контроля.
A – алгоритм управления.
J – обучающая информация.
Z – цель обучения.
P – состояние обучаемого.
Fp, Fy – операторы состояния и результатов контроля обучаемого.
Структурная схема ИОС представлена на рисунке:
Пусть предметом обучения является n+1 заданных порций обучающей информации J = (J1….Jn+1). При этом известны относительные веса (или значимость) для каждой порции Q = (q1…qn+1). Причем 
.
В качестве 
можно, например, применять априорную (доопытную) меру частоты использования значения в практической деятельности человека.
Весь процесс обучения, согласно этой модели, можно представить в виде двух повторяющихся этапов:
1) Передача обучающемуся порции информации
,
где 
= 1, если на шаге N выдано Ji. В противном случае равно нулю.
2) контроль знаний.
Результаты контроля представляются в виде вектора канала обратной связи:
,
при этом 
, если обучаемый знает порцию Ji информации на N шаге.
Модель обучаемого удается отразить в виде:
.
Цель обучения можно задать следующим выражением:
, (1)
где 
- уровень (вероятность) незнания порции информации;
- некоторый наперёд заданный уровень незнания;
С прикладной точки зрения выражение (1) не очень удобно, поэтому используют другой критерий обучения. Так в качестве интегрального критерия оценки эффективности знаний обучаемого используют:
, (2)
где 
- уровень (вероятность) незнания порции информации на N шаге;
- частота использования знаний;
E – некоторый порог (уровень, характеризующий минимальные знания).
(2) – это интегральный критерий, который является более обобщенным. На практике полезно использовать как (1), так и (2).
|
Алгоритм обучения должен обеспечивать минимизацию шагов обучения, необходимых для достижения целей Z.
Z:
Т.е. необходимо решить следующую задачу оптимизации:
,
при условии выполнения ограничения (1).
При этом необходимо найти 
– оптимальное значение управления обучением. При этом аналитического решения (вычисляя частные производные и приравнивая их к 0) найти невозможно. Решение данной оптимизационной задачи может быть найдено с помощью известных методов нелинейного программирования (оптимизация в Excel – метод сопряженных градиентов и Ньютона).
В процессе обучения модель обучаемого изменяется, поэтому необходима адаптация процесса обучения. При этом процесс адаптации осуществляется рекуррентным способом (когда состояние на n+1 шаге обучения зависит от состояния n (на предыдущем) шаге).
,
где 
(набла) - вектор градиента (направление движения и шаг), показывающий направление max-го возрастания функции;
;
J – алгоритм адаптации обучающей информации, зависит от контроля 
и предыдущего состояния обучающегося 
.
Если считать обучающегося полностью необученным, то процесс обучения удлинится 
и в данном случае состоит в том, что на данном шаге ИС строится согласно алгоритму: для каждого конкретного обучаемого – своё информационное поле, по которому определяются промежутки между сеансами обучения и коррекция вектора вероятностей познания. В дальнейшем осуществляется контроль по критериям качества обучения, и когда этот критерий достигает заданного уровня (E), процесс обучения считается выполненным с точки зрения заданного уровня. Обучаемый получает протокол с информацией о результатах тестирования.