Интерференция упругих волн

 

Для того чтобы рассмотреть интерференцию волн, введем поня-тие когерентности. Согласованное протекание во времени и про-странстве нескольких колебательных или волновых процессов связано с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. При наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн, и заключается в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга.

 

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2 , колеблющимися с одинаковыми амплитудой, частотой, нулевой начальной фазой и по-стоянной разностью фаз. Запишем уравнения колебаний:

 

S = A0 cos( ωt − kr )= A0 cos ϕ , S = A0 cos( ωt − kr )= A0 cos ϕ , (6.7.1)  
         
r1 r1   r2   r2    
                   

где r1 и r2 − расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.


 


Амплитуда результирующей волны равна (сложение одинаково направленных колебаний)

A2= A02 + A02 + 2 A02 cos( ϕ −ϕ ) =   A02   + A02 + 2 A02 cos   2π(r −r ) . (6.7.2)  
               
  r   r   rr     r     r     rr   λ        
                                           
      1 2               1 2                  
Так как разность начальных фаз   ( ϕ − ϕ   ) = 2π ( r − r )= 2 π = const ,  
                                λ     λ      

то результат наложения двух волн в различных точках зависит от ве-

личины = r2 − r1 , называемой разностью хода волн. 2 π      
    В точках,   где выполняется условие       =1 ⇒  
      cos λ    
  2π                                    
  = ± 2 mπ ⇒ = ± mλ (m = 0, 1, 2, … − порядок максимума)    
  λ    
                                       
          A2   A 2 2 A 2     A A        
      A   = + +   ⇒ A = + .     (6.7.3)  
        r 2            
              r 2 r r     r r        
              1 2              

Так как квадрат амплитуды колебаний пропорционален интен-сивности волны, то получаем

 

I =( I1+ I 2+2 I1 I 2)>( I1+ I2). (6.7.4)

То есть наблюдается усиление интенсивности (увеличение ам-плитуду) результирующей волны или интерференционный максимум.

  2) В точках, где выполняется условие     2 π   = −1 ⇒  
  cos λ    
                                         
2π                 1 λ (m = 1, 2, …)            
λ = ± ( π+ 2 mπ ) ⇒ = ± m +                
                                     
        A2   A 2   2 A 2     A A        
  A   = +   −   ⇒ A = − .     (6.7.5)  
    r 2 r 2            
              r r     r r        
              1 2              
        I =( I1+ I 2−2 I1 I 2)<( I1+ I2)         (6.7.6)  

То есть наблюдается ослабление интенсивности (уменьшение ам-плитуды) результирующей волны или интерференционный минимум.

 

Таким образом, в результате наложения двух когерентных волн в среде возникают колебания, амплитуда которых различна в разных


 


точках среды, при этом в каждой точке среды получается или макси-мум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение − в зависимости от значения разности расстояний точки до когерентных источников. Интерференция света приводит к перерас-пределению энергии волны между соседними областями , хотя в сред-нем для больших областей энергия остается неизменной.

 

Стоячие волны

 

Рассмотрим интерференцию стоячих волн. Стоячие волны − это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распро-страняющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и ам-плитудами.

Запишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях

S1= A cos(ω t − kx)и S 2= A cos(ω t + kx). (6.8.1)

 

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по фор-муле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны

 

S = S1+ S 2= A cos(ωt − kx )+ A cos(ω t − kx )=2 A cos2λπ x cosωt . (6.8.2)

 

Из данного уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, при-чем амплитуда зависит от координаты х

 

A ( x )=2 Acos 2π x . (6.8.3)  
   
  λ    

 

Точки , в которых амплитуда колебаний достигает максимально-го значения и координаты которых удовлетворяют условию

cos 2π x = ± 1 ⇒ 2 π x = ± mπ ⇒ x = ±m λ , (6.8.4)  
λ λ  
           

 

где m = 0, 1, 2, … называются пучностями стоячей волны.

 

Точки, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль и ко-ординаты которых удовлетворяют условию

 

  x   x   1   1 λ      
cos 2π   = 0 ⇒ 2 π   = ± m +   π ⇒ x = ± m +     , (6.8.5)  
λ λ  
             

 

где m = 0, 1, 2, … называются узлами стоячей волны.


 

 


php"; ?>