Коэффициенты переноса для идеального газа

 

Диффузия

 

Пусть в газе имеется неравномерное распределение концентри-ческих частиц n = n(x) (рис. 11.3.1). Тогда вследствие хаотичности дви-жения молекул будет происходить выравнивание концентрации по объему. Согласно упрощенным представлениям, количество молекул, переходящих через площадку за время dt из одного слоя в другой равно


 

n              
n1       n(x)      
n(x)            
             
n2       dS      
             
x     x      
λ x  
        Рис. 11.3.1      


dN =16 n υ dSdt . (11.3.1)

Число молекул пер-вой компоненты, проле-тающих через площадку dS за время dt в направлении оси Ox равно dN1 , а число молекул, пролетающих в

 

x противоположном направ-лении − dN2 . Разность этих чисел дает поток молекул через площадку dS


 


dN = dN1 dN2.         (11.3.2)  
Согласно формуле (11.3.1), dN = 1 n υ dSdt , а dN   = 1 n υ dSdt .  
Таким образом,        
                   
dN =1 υ dSdt (nn ).       (11.3.3)  
               
                   

Через поверхность dS будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на расстоянии от площадки, равном средней длине свободного пробега. Поэтому n1 и n 2 разумно представить как

n = n ( x − λ)= n (x)− dn λ и n = n ( x +λ)= n (x)+ dn λ. (11.3.4)  
    dx     dx    
               
n n = n ( x − λ ) n ( x +λ ) = − dn 2λ , (11.3.5)  
            dx    
                 
dN = − υ dS dndt = − 1 υ λ dn dSdt . (11.3.6)  
    dx     dx    
Умножим уравнение (11.3.6) на массу одной молекулы m0  
dNm = − 1 υ λ d (nm0 ) dSdt . (11.3.7)  
      dx        
               
Учитывая, что dm = dNm0 , а ρ = nm0 окончательно получим  
    dm = −1 υ λ dρ dSdt .   (11.3.8)  
        dx        
Сопоставление с формулой (11.1.1) дает для коэффициента  
диффузии следующее выражение            
      D = υ λ.     (11.3.9)  
                 

Внутреннее трение

 

Рассмотрим газ, у которого слои движутся с различными скоро-стями. Каждая молекула участвует в двух движениях: хаотическом теп-ловом, средняя скорость которого равна 〈υ〉 и упорядоченном движении со скоростью u, которая много меньше средней скорости. Пусть различ-ные слои газа имеют разную скорость упорядоченного движения и = и(х) (рис. 11.3.2). В этом случае при переходе молекул из одного слоя в


 


u               другой они будут переносить  
u1               различные значения импульса  
              т0 и,соответствующего направ-  
u(x)               ленному движению слоев газа.  
              Попав в другой слой, молекула  
                 
u2               претерпевает соударения с мо-  
        dS     лекулами этого слоя. В резуль-  
              тате соударений она либо отдает  
                 
                избыток своего импульса дру-  
x     x       x гим молекулам,либо увеличи-  
λ   x  
        Рис. 11.3.2       вает свой импульс за счет дру-  
              гих молекул. В итоге импульс  

более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося − возрастает. Таким образом, слои ведут себя так, как если бы к первому слою (скорость которого больше) была приложена тормозящая его движение сила, а ко второму слою (скорость которого меньше) − такая же по величине ускоряющая его движение сила.

 

Импульс, переносимый молекулами за время dt в направлении оси Ох будет равен dp1 = m0 dN1 u1 , а в противоположном направлении

dp2= m0 dN2 u2.

 

Результирующий импульс, переносимый молекулами за время

 

dt,будет равен  
dp = dp1 dp2= m0(u1 dN1 u2 dN2). (11.3.10)

 

Если учесть, что поток частиц в обе стороны приблизительно одинаковый dN1dN2 = dN, получим

 

dp = m0 dN (u1 u2). (11.3.11)

 

С учетом формулы (11.3.1) импульс, переносимый молекулами за время dt

p = 1 n υ dSm ( uu )dt . (11.3.12)  
       
             

Так как в среднем, последнее соударение происходит на рас-стоянии, равном длине свободного пробега молекулы. Поэтому моле-кулам, летящим в направлении оси Ох, припишем значение скорости u1= u(x −λ),а молекулам,летящим в противоположном направлении,− значение скорости u2 = u(x + λ).


 


Учитывая, что υ1 − υ 2 = υ ( x − λ ) − υ ( x +λ ) = − ddxυ 2λ , и приняв во внимание, что nm0 = ρ − плотность газа, получим

dp = 1 n υ dSm [ u u ]= − 1 υ ρdS dudt = − 1 υ λρdυdSdt . (11.3.12)  
  dx dx  
         
  Сравнивая полученную формулу с соотношением (11.1.3) полу-  
чим выражение для коэффициента динамической вязкости  
            η= 1 υ λρ.   (11.3.13)  
                 

Теплопроводность

 

Перемещаясь вследствие теплового движения, молекулы пере-

 

носят запасенную ими энер- T                
гию. Рассмотрим газ, в кото-                
                 
ром каким-то способом под- T1                
держивается градиент темпе- T(x)                
ратуры вдоль направления Ox.                  
Мысленно представим пло-                  
щадку dS, перпендикулярную к T2         dS  
этому направлению. Будем ис-            
                 
ходить из предположения, что                  
каждая молекула несет с собой x     x     x  
λ x  
энергию ε = i kT .Эта энергия         Рис. 11.3.3        
               
                     

соответствует температуре то-го места, где произошло ее последнее столкновение с другой молеку-

 

лой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от площад-ки, равном средней длине свободного пробега λ. Поэтому молекулам,

летящим в направлении оси Ox,припишем энергию  
ε = i kT = i kT ( x − λ),а   молекулам, летящим в противоположном  
       
                     
          i     i        
направлении, − энергию ε = kT = kT ( x +λ).    
       
                 
    Тогда для потока тепла через площадку dS получается выра-  
жение                        
        dQ = dN1ε1 dN2ε2. (11.3.14)  

 

 


Учитывая, что dN1dN2 = dN из выражения (11.3.14) получаем

 

    dQ =1 n υ dS   i kT i kT dt =1 n υ dS i k ( T T )dt . (11.3.15)  
                                   
                                               
Учитывая, что T T = T ( x − λ)− T ( x +λ)= − dT 2λ,получим      
                                    dx                      
                                                                     
    dQ = − n υ   dS i k dT dt = −   i kn dT dSdt . (11.3.15)  
      dx υ λ    
                                    dx                
    Выражение   i   kn можно представить, как   i kn = i kn m0 N A =  
       
                                                    m N A  
  i kNA nm0= i   R ⋅ρ               iR                        
=   c уд ( c уд =     − удельная теплоемкость при  
                         
  2 m0 NA     M         V   V   2M                                
                                                       
V = const).                                                                  
    dQ = − 1 n υ dS i k dT dt = − 1
                      dx             V dx                
    Сравнивая с формулой (11.1.4), получим выражение для коэф-  
фициента теплопроводности   1 υ cудλρ.                          
                              χ =                 (11.3.17)  
                                    V                                
                                                                     


 



38
  • Далее ⇒