Магнитное поле тороида и соленоида

 

Закон полного тока (1.5.10) часто используют для расчета индук-ции магнитного поля постоянного электрического тока. Для примера рассмотрим применение закона полного тока для расчета индукции магнитного поля соленоида и тороида.

 

Соленоид–это катушка индуктивности в виде намотанного на ци-линдрическую поверхность изолированного проводника, по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющей N витков. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, то есть рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым, и чем длиннее соленоид, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому будем считать, что поле бесконечно длинного соле-ноида сосредоточено целиком внутри него.


 


Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый пря-моугольный контур ABCDA (рис. 1.6.1) Согласно теореме о цирку-

 

ляции вектора H:

Hl dl = NI. (1.6.1)

ABCDA

 

D A

 

C B

 

 

Рис. 1.6.1

 

Интеграл по ABCDA можно представить в виде интегралов по AB; BC; CD; DA.На участках AB и CD контур перпендикулярен линияммагнитной индукции и Hl = 0. На участке CB вне соленоида Н = 0, а на участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции и циркуляция вектора H равна

Hl dl = Hl = NI. (1.6.2)
DA  

 

Из последнего уравнения получаем, что напряженность магнит-ного поля соленоида:

  NI (1.6.3)  
H = l = nI ,  
   

где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу длины . Используя формулу (1.1.1), выражаем индукцию магнитного поля

 

соленоида:

 

B =μμ0 N I =μμ0nI. (1.6.4)  
l  
       

 

Тороид–это кольцевая катушка с витками,намотанными на сер-дечник, имеющий форму тора, по которому течет электрический ток.

 

Пусть R1 и R2 соответственно внешний и внутренний радиусы се-чения тороида. Общее число витков тороида с током I равно N.


 


Если r < R2, то контур не охватывает проводники с током,
N  
Ik = 0, и по закону полного тока  
i=1  
Hdl cosα=2πrH =0⇒ H =0. (1.6.5)
L  

Если r > R1, то контур охватывает 2N проводников с током I. По-ловина из них идет в одном направлении, а половина – в обратном на-правлении (рис. 1.6.2). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, и поэтому

 

2 πrH = 0 ⇒ H = 0. (1.6.6)


 

r

 

R2

 

 

Рис. 1.6.2


 

 

R1


 

Из полученного результата следует, что вне тороида магнитное поле отсутствует. Магнитное поле сосредоточено внутри объема (R2rR1) тороида. Линии магнитной индукции в данном случае есть окружно-сти, центры которых расположены на оси тороида. В этом случае кон-тур радиуса r охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. Поэтому по теореме о циркуляции

  Hl dl = Hl =2πrH = NI. (1.6.7)  
L        
Отсюда напряженность магнитного поля внутри тороида:    
  NI   (1.6.8)  
H = 2 πr = nI ,  
   
             

где n – число витков тороида, приходящихся на единицу длины. Напряженность магнитного поля на осевой линии тороида равна:

Hср = NI . (1.6.9)  
   
  r    
  ср    

 


Используя формулу (1.1.1), находим индукцию магнитного поля внутри тороида:

 

B =μμ0 NI = μμ0nI. (1.6.10)  
r  
       

 

Индукция магнитного поля на осевой линии тороида равна:

 

B =μμ   NI =μμ nI. (1.6.11)  
0r  
cp      
    cp