Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
Рассмотрим проводник длинной l с током I, находящийся в одно-родном внешнем магнитном поле. Поле направлено перпендикулярно
плоскости рисунка « от нас» (рис. 2.3.1). Проводник не закреплен и под действием силы Ампера будет свободно перемещаться из поло-жения 1 в положение 2 параллельно самому себе на отрезок dx. Эле-ментарная работа, совершаемая магнитным полем равна:
| dA = Fdx = IBldx = IBdS = IdΦm , | (2.3.1) |
где ldx = dS − площадь, пересекаемая проводником при его перемеще-нии в магнитном поле; Bds = dФm− поток вектора магнитной индук-ции, пронизывающий эту площадь.
B
dS 1 2
FA l 
I
dx
Рис. 2.3.1
Если сила тока I в проводнике постоянна, то после интегрирова-ния (2.3.1) имеем:
| A = IФт. | (2.3.2) |
Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнит-ном поле проводника с постоянным током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, которую пересекает проводник при своем движении.
Определим величину работы сил Ампера при перемещении замкну-того контура ABCD в магнитном поле с постоянным током I (рис. 2.3.2). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка − за чертеж. Предположим, что контур ABCD перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение A′B′C′D′. Контур ABCD разобьем на два соединенных своими концами проводни-ка ABC и CDA. Работа, совершаемая силами Ампера при рассматривае-мом перемещении контура в магнитном поле равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC и CDA
| dA = dA1+ dA2. | (2.3.3) |
| dF1 | C | С′ | |||
| dx1 | I | ||||
| dl1 | D | ||||
| B | |||||
| B′ | dl2 | dx | D′ | ||
| B | |||||
| I | dF2 | ||||
| A | A′ | ||||
| Рис. 2.3.2 |
При перемещении проводника CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения и образуют с направлением перемещения ост-рые углы, поэтому совершаемая ими работа dA2 > 0. Эта работа равна произведению силы тока в контуре на пересеченный проводником CDA при своем движении поток dФm2,следовательно
| dA2= IdΦm2. | (2.3.4) |
Силы, действующие на проводник ABC контура, направлены про-тив перемещения и образуют с направлением перемещения тупые уг-лы, поэтому dA1 < 0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток dФm1, следовательно
| dA1=− Id Φm1. | (2.3.5) |
| Подставив (2.3.4) и (2.3.5) в (2.3.3), получим: | |
| dA = dA1+ dA2= –IdФm1+ IdФm2= I(dФm2– dФm1). | (2.3.6) |
Так как d Фm2 – dФm1 = dФт – изменение магнитного потока, про-низывающего поверхность, ограниченную контуром, при его переме-щении из положения ABCD в положение A′B′C′D′, то выражение для элементарной работы dA равно:
| dA = IdФт, | (2.3.6) |
| или после интегрирования | |
| A = I Фт. | (2.3.7) |
Таким образом, работа , совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.
Пусть вектор B магнитной индукции направлен перпендикуляр-но плоскости чертежа «от нас». В этом случае сила Ампера dF2 , дей-
| 2.4. Сила Лоренца. Масс-спектрометрия. |
ствующая на элемент dl2 проводника DNA, образует острый угол с на-правлением его перемещения dx2 и совершает положительную рабо-
ту. В то же время сила dF1 , действующая на элемент dl1 проводника AMD,образует с направлением его перемещения dx1тупой угол и со-
вершает отрицательную работу, т. е. dA1 < 0, dA2 > 0. Поэтому полная работа равна (см. формулу (2.3.3)):
| dA = dA1+ dA2= –IdФm1+ IdФm2= I(dФm2– dФm1), | (2.3.8) |
где dФm1 – магнитный поток сквозь поверхность AMDD′M′A′; dФm2 – магнитный поток сквозь поверхность ANDD′N′ A′.
| Из рис. 2.3.2 видно, что | |
| dФm2– dФm1= dФт, | (2.3.9) |
где dФт – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром, при перемещении его из положения C в поло-жение C′. Окончательное выражение для элементарной работы dA равно:
| dA = IdФт. | (2.3.10) |
| Интегрируя последнее равенство, получим: | |
| A = I Фт. | (2.3.11) |
Таким образом, работа , совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.
Сила, действующая на движущуюся со скоростью υ заряженную частицу q со стороны магнитного поля индукцией В, называется си-
| лой Лоренца. | |||||
| F | = q | (2.4.1) | |||
| υ× B . | |||||
| Л | |||||
| Модуль силы Лоренца равен | |||||
| FЛ= qυBsinα, | (2.4.2) |
где α − угол между векторами υ и B.
Из соотношения (2.4.1) следует, что сила Лоренца всегда направ-лена перпендикулярно к направлению вектора скорости заряженной частицы и поэтому играет роль центробежной силы, которая не со-вершает работы.Эта сила только изменяет направление скорости
движения частицы в магнитном поле. Абсолютная величина скорости частицы и его кинетическая энергия при движении в магнитном поле
не изменяются.
Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:
если сложенные вместе пальцы направить по движению положи-тельно заряженной частицы, а ладонь расположить так, чтобы ли-нии магнитной индукции входили в ладонь, то отогнутый на 90о большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей со стороны магнитного поля. При движении отрицательно заряженнойчастицы эта сила направлена в противоположную сторону.
В общем случае на движущуюся заряженную частицу действуют
| электрическое поле напряженностью E и магнитное поле индукцией | |||
| B.Результирующая сила F,действующая на частицу, | равна сумме | ||
| силы Fe = qE и силы Лоренца FЛ : | |||
| FЛ= qE + q υ× B. | (2.4.3) |
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заря-женной частицы. Поэтому она изменяет только направление скорости, не изменяя ее модуля, и, следовательно, она не совершает работы. Так как магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заря-женной частицей , то кинетическая энергия этой частицы при движе-нии в магнитном поле не изменяется.
Если магнитное поле однородно ( B = const) и на частицы не дей-ствует электрическое поле (или его действием можно пренебречь), то возможны три случая движения заряженных частиц в этом поле.
1. Заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линий магнитной индукции (α = 0 или α = π). Сила Лоренца FЛ равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует, и она движется равномерно
и прямолинейно.
2. Заряженная частица движется в магнитном поле перпендику-лярно линиям магнитной индукции (угол α = π/2). Сила Лоренца F = qBυпостоянна по модулю и нормальна к траектории частицы.Частица будет двигаться по окружности с нормальным ускорением an =υ2/R (рис. 2.4.1).Из второго закона Ньютона выразим радиус та-кой окружности:
| qBυ= | mυ2 | ⇒ R = | mυ | ||
| . | (2.4.4) | ||||
| R | qB |
Период вращения частицы будет равен:
| T = | 2 πR | = | 2πm | ||
| υ | qB . | (2.4.5) |
q > 0
υ
B q < 0
Рис. 2.4.1
3.Заряженная частица движется под углом к линиям магнитной индукции. Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений: а) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью υ ; б) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю υ⊥ .
Суммарное движение будет движением по винтовой траектории, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 2.4.2).
В
| q+ | υ|| | ||
| υ | |||
| F | |||
| υ⊥ | |||
| Л | ап | ||
| O | R | ||
h
| Рис. 2.4.2 | |
| Из рисунка видно, что | |
| υ|| = υ cosα, υ⊥ = υsin α. | (2.4.6) |
Радиус винтовой линии равен:
R = mqBυ⊥= mυqBsinα.
Период вращение частицы
T = 2πR = 2πm .
υ⊥ qB
(2.4.7)
(2.4.8)
Шаг винтовой линии (расстояние, которое проходит частица вдоль оси винтовой линии за время равное периоду вращения)
| h =υ T =υ T cosα= | 2πmυcosα . | (2.4.9) |
| qB |
Если магнитное поле неоднородно и заряженная частица движет-ся под углом к линиям магнитного поля в направлении возрастания поля, то радиус и шаг спирали уменьшаются с ростом индукции маг-нитного поля. На этом основана фокусировка пучка заряженных час-тиц магнитным полем.
Закономерности движения заряженных частиц в магнитных и электрических полях легли в основу масс-спектрометрии, метода оп-ределения массы ионов. На рис. 2.4.3 представлен масс-спектрограф Бейнбриджа.
(q/m)1 (q/m)2
Ф
Рис. 2.4.3
В нем пучок ионов проходит сначала через так называемый селек-тор (или фильтр) скоростей, который выделяет из пучка ионы с опреде-ленным значением скорости. В селекторе ионы подвергаются одновре-менному воздействию взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей, отклоняющих ионы в противоположные стороны. Через выходную щель селектора проходят только те ионы, для которых действия электрического и магнитного полей компенсируют друг друга.
Это происходит при условии, что qЕ = qυB. Следовательно, скорости вышедших из селектора ионов, независимо от их массы и заряда, имеют одинаковое значение, равное υ = Е/В. Выйдя из селектора, ионы попа-дают в область перпендикулярного к их скорости однородного магнит-ного поля с индукцией В1. В этом поле они движутся по окружностям, радиусы которых зависят от q/т, согласно формуле (2.4.10)
| mυ | ||||
| R = | . | (2.4.10) | ||
| qB | ||||
Описав половину окружности, ионы попадают на фотопластинку на расстояниях от щели, равных 2R. Следовательно, ионы каждого сорта (определяемого значением q/т) оставляют на пластинке след в виде уз-кой полоски. Зная параметры прибора, можно вычислить удельные за-ряды ионов. Поскольку заряды ионов являются целыми кратными эле-ментарного заряда е, то по найденным значениям q/т можно определить массы ионов. В настоящее время имеется много типов усовершенство-ванных масс-спектрографов. Созданы также приборы, в которых ионы регистрируются с помощью электрического устройства, а не фотопла-стинки. Они получили название масс-спектрометров.
Эффект Холла.
Американский физик Э. Холл обнаружил, что в пластинке металла (или в полупроводника) с током I, помещенной в магнитное поле B, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном на-правлению тока и вектору B, т. е. на противоположных гранях пла-стинки между точками А и С (рис. 2.5.1) возникает разность потен-циалов . Возникновение разности потенциалов Δϕ = ϕА – ϕС в этом случае носит название эффекта Холла.
| B | A | FЛ | |
| M | |||
I
| C | Fe | b | |
Рис. 2.5.1
Рассмотрим металлическую пластину толщиной b, по которой проходит ток I , помещенную в магнитное поле так, чтобы ее горизон-тальные грани были параллельны плоскости, образованной векторами плотности тока j и вектором магнитной индукции B. В отсутствие
магнитного поля разность потенциалов между точками A и С равна нулю (ϕA = ϕ C), поскольку точки А и С лежат на эквипотенциальной поверхности, перпендикулярной вектору E . При наличии магнитного поля возникает разность потенциалов Δϕ = ϕА – ϕ С.
| ΔϕH = RbjB, | (2.5.1) |
где R − постоянная Холла.
Классическая электронная теория позволяет достаточно просто объяснить возникновение холловской разности потенциалов ΔϕH. Пусть сила тока I обусловлена упорядоченным движением свободных носителей заряда q, концентрация которых п, средняя скорость дрейфа u.Тогда плотность тока
| j = qnu. | (2.5.2) |
При включении магнитного поля на каждый заряд q, движущийся со скоростью u, будет действовать сила Лоренца
| FЛ= quB, | (2.5.3) |
которая вызовет отклонение положительных зарядов (q > 0) к одной грани пластинки, а отрицательных зарядов (q < 0) − к другой. В ре-зультате у верхней грани образуется избыточный положительный за-ряд, а у нижней грани − отрицательный. Появятся поперечное элек-трическое поле Е* и соответствующая ему электрическая сила:
| Fэл = qE*= q | ϕ | . | (2.5.4) | |
| b |
Когда напряженность этого поперечного поля достигнет такой ве-личины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Ло-ренца, установится стационарное распределение зарядов в попереч-ном направлении. Тогда
| FЭ= FЛ⇒q | ΔϕH | = qBu ⇒ Δϕ H = Bub ⇒ Δϕ H = | Bbj | (2.5.5) | ||
| qn | ||||||
| b |
Сравнивая (2.5.1) и (2.5.2) получаем, что постоянная Холла равна:
| R = | . | (2.5.6) | ||
| qn |
Поскольку концентрация п − положительная величина, знак по-стоянной R определяется знаком заряда q свободных носителей заряда в материале пластинки. Если постоянную Холла измерить на опыте, то по формуле (2.5.6) можно рассчитать концентрацию носителей за-
ряда. Когда электропроводность материала определяется зарядами обоих знаков, то по знаку постоянной Холла можно судить о том, ка-кие заряды вносят преобладающий вклад в удельную электрическую проводимость у исследуемого проводника. Для полупроводников знак постоянной Холла определяет тип проводимости (R < 0 − электрон-
ная, R > 0 − дырочная).
Определение значения постоянной Холла для электронных про-водников позволяет определить среднюю длину свободного пробега электронов λ . Эффект Холла также широко используется для измере-ния индукции В магнитных полей.