В уравнение вращательного движения цилиндра относительно точки О

(64)

входит момент силы тяжести

а плечо силы натяжения ленты равно нулю. Моменты инерции цилиндра относительно оси, проходящей через точку О, по теореме Штейнера (59)

Ускорение разматывания по своему смыслу равно тангенциальному ускорению поверхности цилиндра, которое в свою очередь равно (19),

Подставляя полученные выражения для , и в уравнение (64) получаем

то есть

Обратите внимание на то, что в этом способе движение цилиндра описывается только уравнением вращательного движения относительно точки О (64); уравнение поступательного движения (62) не используется. Поверхность цилиндра покоится относительно ленты, которая на него намотана. В частности, в точке О линия касания цилиндра покоится относительно ленты, цилиндр совершает только вращательное движение вокруг этой линии, называемой мгновенной осью вращения, а сама эта линия опускается вниз с ускорением .

8. Через блок переброшена легкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами кг и кг. Масса блока кг, радиус блока см, момент сил трения в блоке Н. Определить ускорение системы и натяжение нити.

Решение:

Система состоит из трех тел (см. рис. 14), два из которых (грузы) совершают поступательное движение, а блок – вращательное:

где – момент инерции блока, – его угловое ускорение, и – моменты сил натяжения нити. Считая блок однородным цилиндром, положим (57)

Легкость нити даёт основание считать её натяжение одинаковым по одну сторону блока:

Однако вследствие массивности блока и наличия момента сил трения. Нерастяжимость нити означает равенство по величине ускорений грузов:

Угловое ускорение блока связано с тангенциальным ускорением поверхности блока соотношением (19) . Тангенциальное ускорение блока равно по величине ускорению грузов, . Поэтому

Моменты сил и направлены вдоль оси вращения в противоположные стороны. Так как , момент сил трения направлен против . Проектируя уравнение вращательного движения блока на ось его вращения, получаем

Проектируем уравнения поступательного движения грузов на вертикальную ось:

Решая полученную систему трёх уравнений, находим результат:

Сравните это решение с решением задачи 3.

9. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1кДж. Под действием постоянного тормозящего момента сил маховик начал замедлять свое вращение и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент сил торможения.

Решение:

Обладая известной из условия задачи кинетической энергией вращения кДж, маховик имел угловую скорость , определяемую соотношением (60):

где – момент инерции маховика. Согласно уравнению вращательного движения (50)

постоянный по условию тормозящий момент сил приводит к замедлению вращения с постоянным угловым ускорением . В этом случае формула (21) уменьшения угловой скорости

до остановки дает время движения, , которое подставим в зависимость угла поворота от времени (22),

(сравните это с (22)). Подставляя сюда найденное выше , получаем

Отметим, что использование соотношения (61) с учетом того, что кинетическая энергия была полностью затрачена на работу сил торможения ( ), позволяет сразу написать полученный результат.

Наконец, угол поворота связан с числом сделанных оборотов известным соотношением (23) , поэтому

10. Однородный тонкий стержень массой 150г может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Летящий горизонтально со скоростью 10м/с, перпендикулярной стержню, пластилиновый шарик попадает в конец стержня и прилипает к нему. Найти скорость прилипшего шарика.

Решение:

Вертикальная проекция вектора суммарного момента внешних сил (реакции опоры и тяжести), действующих на систему тел «шарик-стержень», равна нулю, поэтому (см. (48`)) вертикальная проекция вектора момента импульса системы сохраняется. Сам вектор момента импульса определим относительно точки, совпадающей с центром стержня, чтобы (для упрощения описания) этот вектор тоже был направлен вертикально. Момент импульса шарика до удара (см. (45))

где – масса шарика, – длина стержня, – плечо импульса шарика, – его скорость до удара. Стержень до удара покоился, поэтому его момент импульса был равен нулю, и момент импульса системы «шарик-стержень» до удара равен :

В результате удара стержень с прилипшим шариком будет вращаться. Момент импульса системы после удара (см. (49))

– угловая скорость вращения стержня с шариком. Момент инерции системы складывается (см. (51)) из момента инерции стержня (56) и момента инерции шарика, который будем считать материальной точкой (52),

где – масса стержня. Сохранение момента импульса

определяет угловую скорость вращения системы после удара

Линейная скорость прилипшего шарика связана с угловой скоростью соотношением (18)

11. С наклонной плоскости скатывается два цилиндра 1) сплошной деревянный и 2) полый металлический. Внешние размеры и массы их одинаковы. Какой цилиндр скатывается быстрее?

Решение:

Согласно закону сохранения механической энергии потенциальная энергия цилиндра переходит в кинетическую, которая равна сумме энергий поступательного и вращательного движений (60):

где – высота наклонной плоскости, – масса цилиндра, – скорость его оси, – момент инерции цилиндра. Скорость оси цилиндра равна по величине скорости движения поверхности цилиндра относительно его оси, которая, в свою очередь, равна (18),