Визначення моменту інерції хрестоподібного маятника

Прилади: хрестоподібний маятник, секундомір, лінійка, штангенциркуль.

Теоретичні відомості.

Момент інерції – фізична величина, яка характеризує інертність тіла, що обертається навколо нерухомої осі, до зміни кутової швидкості під дією обертаючого моменту.

Момент інерції матеріальної точки щодо якого-небудь центру обертання розраховується за формулою , момент інерції твердого тіла щодо заданої осі ; при обчисленні моменту інерції твердого тіла замінюють інтегралом , чи , де dV – елемент об’єму.

Інтегруємо по всьому об’єму. Момент інерції твердого тіла залежить від розподілу маси щодо осі обертання.

Метою даної роботи є дослідне визначення моменту інерції хрестоподібного маятника і порівняння його з моментом інерції, обчисленим теоретично.

За основним законом динаміки для обертального руху діючий на деяке тіло обертаючий момент М дорівнює добутку моменту інерції I цього тіла на додане йому кутове прискорення β, тобто

М = Iβ. (1)

Якщо М и β відомі, то момент інерції цього тіла дорівнює

. (2)

За формулою (2) визначення моменту інерції тіла може бути зведене до виміру обертаючого моменту та кутового прискорення, що додається тілу.

Хрестоподібний маятник показаний на рис.1. Він являє собою систему, що складається з двох шківів різних радіусів (r₁, r₂), закріплених на одній осі, і чотирьох спиць, уздовж яких можна переміщати насадки масою m_i.

Ця система приводиться в обертальний рух вантажем А масою m, прикріпленим до шнура, що намотаний на один зі шківів. Змінюючи радіус шківа чи вагу вантажу, можна змінювати діючий на систему обертаючий момент М. Переміщуючи уздовж спиць насадки m₁, m₂, m₃, m₄ , можна змінювати момент інерції системи.

Рис.1 Рис.2

Визначення обертаючого моменту відбувається за формулою

, (3)

де F₁ – діюча на систему сила; r – радіус шківа.

Вантаж А, утримуваний на висоті h, має запас потенційної енергії, рівний добутку сили ваги вантажу на висоту підняття h. Якщо звільнити систему, тим самим надавши можливість вантажу падати, то вантаж починає опускатися з прискоренням а, одночасно приводячи всю систему в рівноприскорений обертальний рух з кутовим прискоренням b:

. (4)

Рівняння руху вантажу А за другим законом Ньютона mg – F₂= ma. Сила F₂=F₁ з умови, що нитка невагома. Це доводиться так. За третім законом Ньютона до нитки з масою ∆m з боку шківа і з боку вантажу прикладені сили F₁ і F₂. Рівняння руху нитки: F₂ – F₁ = ∆m∙a (рис. 2).

Нитка невагома, тобто ∆m = 0, тоді

F₁ = F₂_. (5)

Сила F₁, що додає кутове прискорення системі, дорівнює

F₁= mg – ma, F₁= m(g – a). (6)

Тоді момент сили М, що діє на систему, дорівнює:

(7)

Падаючий вантаж А рухається рівноприскорено, без початкової швидкості. За час t він пройде шлях . Звідки

. (8)

Якщо радіус шківа r, то кутове прискорення його дорівнює

. (9)

Знаючи величину а, масу падаючого вантажу і радіус шківа, можна за формулою (7) підрахувати обертаючий момент М. Визначивши з досліду величини t, h, r, можна знайти експериментальне значення моменту інерції за формулою (2).

Момент інерції хрестоподібного маятника можна розрахувати теоретично. Для цього необхідно експериментально визначити момент інерції хрестовини I₀ за формулою (2) і розрахувати момент інерції насадок, приймаючи їх за матеріальні точки. Тоді момент інерції хрестоподібного маятника I_T

, (10)

де R – відстань від осі обертання маятника до центру ваги насадки.

Порядок виконання роботи

1. Зрушити верхній рухливий кронштейн із фотодатчиком 6 на висоту h (указує викладач) і установити так, щоб вантажі 2, падаючи, проходили через середину робочого вікна фотодатчика 7(рис. 3).

2. Закріпити насадки 1 на спиці маятника на відстані R (указує викладач) від центра обертання.

3. Включити шнур вимірника в мережу.

4. Натиснути клавішу «мережа»,

Рис. 3

при цьому повинні загорітися нулі на індикаторі вимірника і обидва фотодатчики.

5. Один кінець нитки 3 прикріпити до диска 5, перекласти її через верхній блок 4 і до другого кінця прикріпити вантажі 2 (кількість вантажів указує викладач).

6. Намотати нитку на один з дисків і установити вантаж так, щоб нижній край вантажів знаходився на відстані не більш 1 см від верхнього датчика 6.

7. Натиснути клавішу «пуск».

8. Зняти показання секундоміра (час падіння вантажу t ).

9. Обнулити показання секундоміра клавішею «скидання».

10. Підняти вантаж у вихідне положення і заблокувати систему, віджавши клавішу «пуск».

11. Виміри зробити по три рази для обох дисків. Повторити досвід без насадок. Дані занести в табл. 1 та 2.

12. По закінченні вимірів віджати клавіші «скидання», «пуск», «мережа» і відключити мережний шнур.

13. Обчислити відносне відхилення експериментального значення I від теоретичного I_T, тобто величину .

Контрольні запитання

1.Який рух називається обертальним?

2. Вивести основне рівняння динаміки обертального руху.

3. Що таке момент сили?

4. У яких одиницях вимірюють момент сили?

5. Що називається моментом інерції? Від чого залежить момент інерції твердого тіла?

6. У яких одиницях вимірюють момент інерції?

7. Сформулювати теорему Штейнера.

Таблиця 1

1-й шків	№ п/п	r, (м)	m, (кг)	М, (Н∙м)	h, (м)	t, (c)	α, (м/с²)	β, (1/с²)	I₀, (кг∙м²)

	Сер.
2-й шків
Сер.

Таблиця 2

1-й шків	№ п/п	r, (м)	R, (м)	m_i, (кг)	m, (кг)	М, (Н∙м)	h, (м)	t, (c)	α, (м/с²)	β, (1/с²)	I₀, (кг∙м²)

Сер.
2-й шків
Сер.

Лабораторна робота № 4