ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Цель работы: Измерение момента инерции маятника.
Приборы и оборудование: Модульный учебный комплекс МУК-М1, блок секундомерэлектронный СЭ1, блок механический БМ-1.
Краткое теоретическое введение
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырёх стержней,
прикреплённых к барабану с осью (Рис.1), грузов массой m1, которые могут быть закреплены на расстоянии r от оси вращения. На шкив наматывается нить, к свободным концам которой прикрепляется груз массой m2. Под действием груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение.
Рис.1
Момент инерции маятника Обербека равен сумме моментов инерции барабана со стержнями и надетыми на них грузами (I) и моментов инерции четырех грузов массой m1, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I ). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с r , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен I = mr². Тогда момент инерции маятника
I = I + 4mr² (1)
Описание установки
В лабораторной установке на барабане имеется два шкива с различными диаметрами D1 и
D2 . Время движения груза время измеряется электронным секундомером, включение которого производится кнопкой «Пуск», а остановка происходит по сигналу фотодатчика. Груз опускается на расстояние x, измеряемое вертикально закрепленной линейкой.
Быстротаопускания более тяжёлого груза пропорциональна разности масс грузиков подвешенных к обоим концам нити.
Установка имеет электромеханическое тормозное устройство, управление которого осуществляется по сигналу фотодатчика.
Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнение динамики вращательного движения.
Груз массой m движется с ускорением a под действием результирующей сил тяжести mg и силы натяжения нити T. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения:
ma = mg – T (2)
Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если
предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила, равная по величине T и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона). Сила натяжения создает вращательный момент M₀ относительно оси маятника Обербека и приводящиее его в движение. Величина этого момента равна M₀ = T∙R , где R – радиус шкива, на который намотана нить.
Момент силы сопротивления относительно оси вращениянаправлен противоположно M вращающейся крестовины.
Запишем для маятника основной закон динамики вращательного движения:
T∙R – M = J ∙ε (3)
где J – момент инерции маятника, ε - угловое ускорение.
Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения a = ε∙R , а также уравнение равноускоренного движения груза при нулевой начальной скорости x = at²/2, выразим ε через измеряемые величины x и t :
(4)
Решим систему уравнений (2) и (3), для чего умножим (2) на R и сложим с (3):
mgR – M = (mR² + I)∙ε
В условиях эксперимента груз m достаточно легкий так, что выполнено соотношение mR² << I. Пренебрегая mR² по сравнению с I приближенное уравнение:
mgR – M≈ I ∙ε
Отсюда выражаем момент инерции маятника Обербека:
(5)
Все величины, кроме M₁ , входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу
экспериментального определения M₁. Из (5) следует, что
(6)
Таким образом, зависимость ε(m) линейна. Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины M₁.
Действительно, если полученную экспериментально зависимость ε (m) экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство mgR – M₁ = 0 , то это позволяет определить M как
M = mgR (7)
Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (5), где величина M
предварительно определена из измерений ε(m) и формулы (7). Подставив выражение ε из (4) и M из (7) в (5), получаем формулу для определения момента инерции маятника
(8)
Таким образом, для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m на расстояние x .
Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения
предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (8). Значение m₀ можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.
Содержание работы
1. Приступив к работе, снимите грузы m1 со стержней, если они там находятся.
2. Заранее выберите отметку (например, 50см), от которой начнется движение груза m.
3. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив большего диаметра, следя, чтобы груз m достиг выбранного положения.
4. Включите электронный секундомер.
5. Подвесьте к обоим концам нити грузы равной массы m. Перенесите один перегрузок с одного конца нити на другой. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим №1 (светится индикатор «Реж.1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме №1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановится, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.
6. Проведите по одному опыту постепенно повышаю массу грузика подвешенного к одному концу, используйте для этого перегрузки с другого конца.
. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (4) рассчитайте величину углового ускорения ε для соответствующих значений m.
7. Постройте зависимость ε (m). Определите из графика по точке его пересечения с осью
абсцисс значение m, при котором ε =0. Рассчитайте по формуле (7) величину момента сил сопротивления M.
8. Вычислите по формуле (8) значение момента инерции барабана со стержнями I.
9. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения,
определите это расстояние, используя деления нанесенные на стержни и указанные около
установки исходные данные.
10. Проведите измерения п. 6 при трёх различных расстояниях r от оси вращения.
11. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (8) при
различных расстояниях r. При этом, в качестве величины m используйте её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (1) для соответствующих значений r.
12. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически
ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r².
Контрольные вопросы.
1. Почему движение груза m будет происходить равноускоренно.
2. Если из четырех грузов m₁ оставить два, то на каком расстоянии r₁ от оси вращения их надо установить, чтобы момент инерции маятника остался таким же, как при четырех грузах m₁, закрепленных на расстояниях r от оси вращения.
3. Как будет вращаться маятник Обербека, если в качестве груза m взять груз массой m₀.
Лабораторная работа №11