Основные принципы употребления имен (знаков)
Принцип однозначности представляет собой требование не изменять в процессе каждого конкретного рассуждения предметные значения языковых знаков. Изменение предметного значения знака – в случае необходимости – должно особо оговариваться.
В качестве примера можно привести рассуждение из одного школьного учебника: «Вода не имеет собственной формы, она принимает форму того сосуда, в который помещена. Вода бывает в твердом, жидком и газообразном состоянии». В этом рассуждении в первом тезисе «вода» употребляется в повседневном смысле, т.е. подразумевается жидкость, не имеющая цвета, запаха, вкуса. Во втором тезисе «вода» – химически сложное вещество, существующее в природе в различных агрегатных состояниях. Оба тезиса составляют одно рассуждение и по замыслу представляют различные характеристики одного и того же вещества – воды. Но здесь совершена ошибка «подмена тезиса». Следствием этой ошибки является очевидное противоречие: всякому известно, что в твердом состоянии вода имеет свою форму.
Принцип предметности. Для того чтобы утверждать что-то о каком-либо предмете или предметах некоторого класса, надо употребить знак этого предмета или общее имя предметов данного класса, а также знак того, что утверждается, – свойство, отношение и т.п., но утверждение при этом относится не к знакам, а к самим предметам.
Предметом мысли могут быть и сами знаки. Тогда нужны знаки (имена) самих этих знаков. На письме такие имена следует брать в кавычки.
Например, «”Материя” – философская категория». Здесь значением имени «материя» является слово, т.е. знак («категория»).
Принцип взаимозаменимости. Любой знак в составе некоторого сложного знака, например предложения или сложного имени, может быть заменен другим знаком с тем же предметным значением без изменения предметного значения всего выражения в целом (для предложения – без изменения его истинностного значения):
Ф(а), а=b,
Ф(b)
где а=b означает, что а и b являются именами одного и того же предмета;
Ф(а) – высказывание, в составе которого встречается имя а;
Ф(b) – высказывание, в составе которого встречается имя b.
Например, Ф(а) – «Луна – остывшее небесное тело»; а – «Луна»; b – «естественный спутник Земли»; Ф(b) – «естественный спутник Земли – остывшее небесное тело».
Вопросы для повторения
1. Что такое знак?
2. Какие характеристики знака называются его смыслом и значением?
3. Есть ли различие между понятиями «смысл» и «смысловое значение» знака?
4. Почему язык является знаковой системой?
5. Какая наука занимается изучением языка как знаковой системы?
6. Какие существуют типы знаков?
7. Что такое семантическая категория? Охарактеризуйте основные семантические категории.
8. Чем признак-свойство отличается от признака-отношения?
9. Какие знаки принято называть предметными функторами?
10. В чем отличие дескриптивных терминов от логических?
11. Чем единичные имена отличаются от общих?
12. Может ли действительное для одного универсума имя для другого оказаться мнимым?
13. Какие имена называются описательными, а какие – неописательными?
14. Каковы основные принципы употребления имен (знаков)?
15. Какой из четырех основных законов логики нарушается при несоблюдении принципа однозначности употребления имен?
Формализованные логические языки
Язык логики предикатов
Формализованный язык классической логики предикатов является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.
Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык, потому что здесь используется особая символика.
Исходные символы:
p, q, r, s, p1... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);
a, b, c, d, a1... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);
x, y, z, x1... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);
P, Q, R, S, P1... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений);
ù – логическое отрицание («не» или «неверно, что»);
Ù – конъюнкция («и»);
Ú – дизъюнкция («или»);
Ú – строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);
É – импликация («если…, то…»);
º – тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);
" – квантор всеобщности («все», «каждый»);
$ – квантор существования («некоторые», «существуют»);
Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.
Выражения языка логики предикатов называются формулами.
При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений. Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р, на языке логики предикатов запишется Р(а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q(b). То, что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р(х).
Например, высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р(а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».
Высказывание «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $хР(х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ – квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».
То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R(x,y). Например, высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: "х"уR(х,у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».
Высказывание «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R(a,b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».
В высказывании «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Его формула будет следующей: R(a,b,c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».
Формулы Р(а), Р(х), R(х,у), R(a,b,c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы являются составными частями предикатов. Разница между ними заключается в том, что если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же говорят о предикатах, то подразумевают характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства является предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.
Знаки свойств называются одноместными предикатами, знаки отношений – многоместными предикатами. Так, предикаты Р(а) и Р(х) – одноместные. Предикаты R(х,у) и R(a,b,c) – многоместные: R(х,у) – двухместный предикат; R(a,b,c) – трехместный. Часто (но не обязательно) местность предиката указывают верхним индексом: R2(х,у), R3(a,b,c).
При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например: «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.
Например, высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R1(а), где а – «Москва»; R1 – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R1(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае трехместного) предиката R(a,b,c).
Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:
"х$yR(x,y),
где х – «студент»; у – «иностранный язык»; R является знаком отношения «знает».
Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.
Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:
"x(P(x) É $y(Q(y) Ù R(x,y))),
где P и Q обозначают теперь соответственно «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».
Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:
"x(P(x,a)ÉQ(x)),
где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».
Язык логики высказываний
В ряде случаев в процессе логического анализа для выяснения некоторых логических отношений (логическое следование, совместимость, несовместимость высказываний и др.) не играют роли структуры простых высказываний. Не учитывать такие структуры (если в этом действительно нет необходимости) позволяет так называемый язык классической логики высказываний, использующий пропозициональные переменные.
Язык этот довольно прост. Предположим, необходимо перевести на язык логики высказываний предложение «Вы получите положительную оценку по логике тогда и только тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на лекциях».
Обозначим простые высказывания при помощи пропозициональных переменных: p – «Вы получите положительную оценку по логике»; q – «Вы решите все предлагаемые вам задачи»; r – «Вы будете шуметь на лекциях». Тогда получится формула
pºqÙùr.
Вопросы для повторения
1. В чем заключается специфика формализованных языков классической логики?
2. В каких областях применяются языки классической логики предикатов и логики высказываний?
3. Что обозначают пропозициональные переменные?
4. Чем предметные константы отличаются от предметных переменных?
5. В чем заключается различие между предикатором и предикатом?
6. Чем определяется местность предикатора?
7. Какие символы применяются в языках логики для обозначения логических терминов?
8. Чем язык логики предикатов отличается от языка логики высказываний?