Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии

 

Пусть признак Х некоторой генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Генеральная дисперсия неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна некоторому значению D0. Это значение может быть установлено теоретически или по результатам предыдущих опытов. Требуется при определенном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии числу D0.

Рассматриваемая гипотеза чаще всего возникает на практике тогда, когда нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и т.д. Например, если известна характеристика D0 величины отклонения от среднего норматива времени пробега стометровки для положительной оценки, а найденная по выборке исправленная выборочная дисперсия окажется значимо больше, то для группы необходимы дополнительные тренировки.

Рассмотрим общую схему для гипотезы о генеральной дисперсии.

1. Формулируется основная гипотеза и одна из альтернативных или или .

2. Выбирается уровень значимости α.

3. Выбирается критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = n – 1.

4. Вычисляется выборочное значение критерия , где n – объем выборки, а S – исправленное среднее квадратическое отклонение.

5. Выбирается критическая область по альтернативной гипотезе Н1, а критические точки χ2кр. по таблице критических точек распределения «хи-квадрат», используя следующую схему

 

 

  Альтернативная гипотеза Н1  
       
       
   
       
V1 – двусторонняя, несимметричная.   V1 – правосторонняя   V1 – левосторонняя
       
; ; ν = n – 1.   ν = n – 1.   ν = n – 1.
                       

6. Принимается статистическое решение.

Пример 9.5. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать величину 0,1. Взята проба из 25 случайно отобранных изделий и получены следующие результаты измерений:

 

Контролируемый размер изделия хi 3,0 3,5 4,0 4,5
Частоты ni

 

Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что станок обеспечивает требуемую точность.

Решение. Применим общую схему.

1. и, очевидно, что

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 25 – 1= 24.

4. Выборочное значение ; так как справедливо следующее ;

;

.

5. По альтернативной гипотезе выбираем второй столбец схемы и определяем, что V1 – правосторонняя критическая область. Критические точки χ2кр. определяем по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»: χ2кр.(0,05; 24) = 36,4. Строим критическую область и отмечаем на оси выборочное значение

 

χ2кр=36,4

 

 


 

6. , следовательно, гипотеза Н0 отвергается, т.е. станок требуемую точность не обеспечивает. ■

Рассмотрим еще одну задачу без текстового содержания.

Пример 9.6. Пусть из генеральной совокупности, признак которой распределен по нормальному закону, извлечена выборка объема n = 17. По значениям признака выборочных элементов найдена выборочная дисперсия Dв = 0,16. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна 0,18. В качестве альтернативной рассмотреть две гипотезы о том, что генеральная средняя не равна 0,18 и что меньше 0,18.

Решение. Проверку этой гипотезы проведем также по общей схеме.

1 случай.

1. и пусть

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение , так как .

5. По альтернативной гипотезе выбираем третий столбец схемы, получаем V1 – левосторонняя критическая область. Находим критическую точку χ2кр.(1- 0,05; 16) = χ2кр.(0,95; 16) = 7,96. Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

 

χ2кр=7,96

 


6. , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н0.

 

2 случай.

1. и пусть

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение , так как .

5. По альтернативной гипотезе выбираем первый столбец схемы, получаем V1 – двусторонняя несимметричная критическая область. Находим критические точки

χ2пр.кр.(0,05/2; 16) = χ2кр.(0,025; 16) = 28,8;

χ2лев.кр.(1-0,05/2; 16) = χ2кр.(0,925; 16) = 6,91.

Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

6,91
28,8

 


6. , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н0.

 

Рассмотренными в данной работе гипотезами далеко не исчерпывается список гипотез, необходимость в проверке которых может возникнуть при обработке и анализе статистических данных. Например, особое значение имеют гипотезы о законе распределения признака Х, для проверки которых применяются, так называемые, критерии согласия. Однако их рассмотрение выходит за рамки данного пособия.