Свойства векторного произведения
Для любых векторова, b, си любого числа α
1º) [а b ] = - [b а ],
2º) [ (αа) b] = [а (αb) ] =α[а b] ,
3º) [ (а + с) b] = [а b] +[с b] .
Из определения смешанного и векторного произведения следуют такие формулы:
Объем параллелепипеда АВСД А1В1С1Д1 равен модулю смешанного произведения векторов АВ, АД, АА1 .
V А….Д1 = |АВ АД АА1|
Объем треугольной призмы АВСА1В1С1 равен половине модуля смешанного произведения векторов АВ, АД, АА1 .
V А….С1 = |АВ АД АА1| /2.
Объем тетраэдра АВСД равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов АВ, АС, АД .
V А….Д = |АВ АС АД| / 6.
Площадь параллелограмма АВСД равна длине векторного произведения векторов АВ и АД SАВСД = |[АВ АД ] |
Площадь треугольника АВС равна половине длины векторного произведения векторов АВ и АС SАВС = |[АВ АС ]| /2.
Расстояние от точки А до прямой (ВС) вычисляется по формуле
ρ(А, (ВС)) = |[ВА ВС ]| :|ВС |
Расстояние между скрещивающимися прямыми (АВ) и (СД)
вычисляется по формуле
ρ((АВ), (СД))= |АВ АД ДС| :|[АВ ДС ]|
6.45. Смешанное произведение базисных векторов е1, е2, е3
равно 3. Найти смешанное произведение векторов а, b, с,зная их координаты в базисе {е1, е2, е3}: а) а(2,-3,1), b(1,1,2), с(3,1,-1);
б) а(-2,1,5), b(3,0,2), с(-1,4,2); в)а(1,-1,1), b(5,2,-3), с(1,4,-2);
г) а(0,-3,1), b(2,3,11), с(1,3,5).
6.46. Решить предыдущую задачу, считая, что координаты векторов а, b, сзаданыв ортонормированном правом базисе.
6.47. Найти смешанное произведение векторов а, b, с,зная их координаты в ортонормированном левом базисе:
а) а(2,-3,1), b(1,1,2), с(3,1,-1); б)а( 
,3,4), b(0,3,0), с(0,4,1).
6.48. В ортонормированном правом базисе даны векторы
а(3,1,2), b(2,7,4), с(1,2,1). Найти координаты векторов
р= (а b с) а + b ; q = 3а - ( с а b) b + с.
ЗАДАЧА
Найти смешанные произведения (2а – b+ с)(а +5b)(с – а),если b а с =5.
РЕШЕНИЕ.
Первый способ.
Используя свойства смешанного произведения и тот факт, что смешанное произведение трех комплпнарных векторов равно нулю, преобразуем данной смешанное произведение.
(2а – b+ с)(а +5b)(с – а) =2а(а +5b)(с – а) + (-b)( а +5b)(с – а) +
с (а +5b)(с – а) = (2а)а (с – а) + (2а) (5b)(с – а) +(-b)а(с – а) + (-b)(5b)(с – а)+
с а(с – а) + с (5b)(с – а) =0 + 10а b с -10а b а- b а с +b а а +0 + с а с –
с а а +5с b с–5 с b а =10а b с - b а с –5 с b а = --10 b а с - b а с –5 b а с =
- 16 b а с =-16 · 5 = - 80.
(Подчеркнуты смешанные произведения компланарных векторов)
Второй способ.
Т.к. b а с =5 
0, то векторы b, а, собразуют базисVз. Найдем координаты векторов, входящих в данное смешанное произведение, в базисе {b, а, с}.
х = (2а – b+ с) = - b +2а + с 
х(-1, 2, 1)
у = (а +5b) =5b + а +0с у(5, 1, 0)
z =(с – а) =0 b -1а +1с z(0, -1, 1)
Так как смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равно произведению определителя, составленному из их координат, на смешенное произведение базисных векторов, то
|
ОТВЕТ. – 80.
6.49. Найти смешанные произведения α = а(b + с)(а +b + с),
β = b (с + а)(b + 2с), γ =(а + b)(а +2b + с)(с – а).если а b с =5.
6.50. Пусть а, b, с –произвольные векторы, а α, β, γ – произвольные числа. Доказать, что векторы αа - βb, γb –αс,βс - γакомпланарны.
6.51. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек: А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(2,3,5), М(6,0,-3), N(1,0,1), А1(0,0,1). Найти объем а) параллелепипеда АВСД А1В1С1Д1,
б) треугольной призмы АМNА1М1N1, в) тетраэдра АВСД.
ЗАДАЧА
Дан куб АВСД А1В1С1Д1 с единичной стороной. Базис