ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МАТРИЦЫ

Пусть дана матрица

,

где aij – некоторые числа. Будем её обозначать A=(aij).

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если их размеры (число строк и число столбцов) совпадают и соответствующие элементы равны, т.е. при всех i, j: aij=bij.

Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица C=(cij) (что обозначается C=A+B) тех же размеров, элементы которой определяются равенствами для всех i, j: cij=aij+bij.

Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрица B=(bij) (что обозначается B=A=A), элементы которой определяются равенствами для всех i, j: bij=aij.

Для этих операций справедливы следующие свойства:

1) A+B=B+A;

2) A+(B+C)=(A+B)+C;

3) 0=(0), что A+0=A;

4) Для A (-A), что A+(-A)=0;

5) (A+B)=A+B;

6) (+)A=A+A;

7) (A)=()A.

 

Умножение матрицы A=(aij) на матрицу B=(bij) определяется только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Произведением матрицы A=(aij) на матрицу B=(bij) называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенствами: , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Таким образом, элемент матрицы C=AB, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Отметим основные свойства произведения матриц (считая, конечно, что все написанные произведения имеют смысл):

1) в общем случае ABBA;

2) A0=0A=0, где 0 – нулевая матрица;

3) AE=EA=A, где E – единичная матрица;

4) (A+B)C=AC+BC;

5) A(B+C)=AB+AC;

6) (AB)C=A(BC);

7) если A и B квадратные матрицы одного порядка, то det(AB)= detAdetB.

Если A – квадратная матрица, то матрица B такая, что AB=BA=E, называется обратной относительно A и обозначается A-1, т.е. AA-1= A-1A=E.

Справедлива следующая теорема: Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной (т.е. detA0).

Обратная матрица невырожденной матрицы A=(aij) единственная и имеет вид:

,

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij в detA, причём элементами i-ой строки матрицы A-1 являются алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы A=(aij).

Пример 1.Найти матрицу, обратную матрице А .

Решение. Находим определитель матрицы А, =detA= –3. Так как 0, то обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A в определителе . Напоминаем, что алгебраическое дополнение элемента aij находится по формуле Aij=(–1)i+jMij.

Для элементов матрицы A получаем

; ;

; ;

; ;

A31= –3, A32=0, A33=0.

Составим обратную матрицу

.

Выражение AXB=C, AX=B, XA=B, где A,B,C – матрицы и X – неизвестная матрица, называется матричным уравнением.

Если матрица A невырожденная, то уравнения AX=B, XA=B имеют единственное решение, соответственно X=A-1B и X=BA-1. Если матрица A – вырожденная, то принимаем элементы матрица X за неизвестные, вычисляем произведение и приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой части уравнения.

Пример 2. Решить матричное уравнение .

Решение. Так как , то матричное уравнение имеет единственное решение . Находим обратную матрицу для матрицы . Так как A11=2, A12=-3, A21=-1, A22=2, поэтому , .

Проверка: , .

Получаем ответ: .

Пример 3.Найти все решения уравнения .

Решение. Для матрицы обратная матрица не существует. Запишем искомую матрицу в виде . Тогда данное уравнение примет вид или .

Откуда получаем систему уравнений

Для нахождения ее решения достаточно найти решение системы

Эта система имеет бесчисленное множество решений

, где x3, x4 – любые числа.

Ответ: Данному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество матриц вида , где x3, x4 – любые числа.

 

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 2

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера


Вариант 3

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 4

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 5

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера

 


Вариант 6

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 7

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 8

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера

 


Вариант 9

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

1. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

2. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 10

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 11

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 


Вариант 12

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

1. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

2. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 13

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4. Решить систему по правилу Крамера

 

Вариант 14

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера

 


Вариант 15

1. Решить матричное уравнение .

2. Найти обратную матрицу для матрицы .

3. Найти все решения матричного уравнения .

4. Решить систему по правилу Крамера