Формулы сокращенного умножения

АЛГЕБРА

Обыкновенные и десятичные дроби.

Если 1 делится на несколько частей (b) и берется какое – то число таких частей (a), то получится обыкновенная дробь, a - числитель, b - знаменатель.

Если a<b, то дробь правильная, если a>b, то дробь неправильная.

Если знаменатели дробей одинаковые, то больше та, у которой числитель больше.

Любое натуральное число a можно представить в виде дроби с любым натуральным показателем n по формуле

Сумму натурального числа и правильной дроби, записанную без знака «+», называют смешанным числом.

Запись неправильной дроби в виде смешанного числа называют выделением целой части дроби.

Действия над дробями:

1.Сложение дробей с одинаковым знаменателем:

2.Вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

3.Умножение дробей:

4.Деление дробей:

Десятичной дробью называется десятичная запись числа, в которой есть разряд единиц и разряды правее разряда единиц. При записи правее разряда единиц ставится запятая.

Умножение и деление десятичной дроби на 10ⁿ. 15,45· 10=154,5; 32,3·100=3230 запятая переносятся вправо на число нулей.

184,35:100=1,8435; 3,5:100=0,035 запятая переносится влево на число нулей.

Сложение и вычитание десятичных дробей. Сложение и вычитание выполняется, так же как и сложение и вычитание натуральных чисел, по разрядам, начиная с младших. Пустые клетки можно заполнить нулями.

Умножение десятичных дробей.

1) Перемножить дроби, не обращая внимания на запятые, как целые числа.

2) Отделить «, » справа столько знаков, сколько их было во 2 множителе и 1 множимом вместе.

Деление десятичных дробей.

Деление выполняется, так же как и деление целых чисел, увеличивая делитель и делимое в 10, 100, 1000 и т.д. раз, чтобы избавиться от запятой.

Периодическая десятичная дробь.

чистая 2,36363636... - период начинается сразу за запятой смешанная 0,5232323... - между «,» и первым периодом есть несколько цифр.

Числа, которые можно представить в виде , где m – целое, n – натуральное, называются рациональными числами. Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь. Числа рациональные и иррациональные образуют множество действительных чисел.

Делимость чисел.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на один н само на себя, называется простым.

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но
ещё и на другие числа, называется составным.
Число 1 занимает особое положение. .

Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и т.д.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Пример: 5600=2·2·2·2·2·5·5·7, или 5600=2⁵·5²·7

Признаки делимости

На 10. На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулями.

На 2 и 5 делятся все те и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 или на 5.

На 3 и 9 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.

Делителем данного числа называется число, на которое данное число делится без остатка.

НОД — Наибольшим общим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка. НОД (a, b)

Как найти НОД? Пример 1. Найти НОД чисел 210, 1260 и 245,

Разложим эти числа на простые множители.

210 = 2·3·5·7; 1260 = 2²·3²·5·7; 245 = 5·7² НОД будет 5·7= 35.

Если в остатке 0 => последний делитель и есть НОД данных чисел. Следовательно, 23 есть НОД чисел 391 в 299.

НОК — наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. НОК (a, b)

Как найти НОК? Пример 1. Найти НОК 72 и 108.

Разложим данные числа на множители: 72=2³·3²; 108=2²·3³.

Множители числа 108 (это удобнее, так как число 108 больше 72), умножая на недостающие простые множители числа 72, т.е. 2, получим: НОК(72,108) = 2³·3³ = 216.

Например: НОК(60,120,40) =120, НОК(7,8,11) = 7·8·11=616.

Пропорции и проценты.

Частное двух чисел называется отношением этих чисел.