Примеры использования алгебраического аппарата для классических экономических моделей.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Макроэкономика функционирования межотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым. Модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.
Предполагается, что производственная сфера хозяйства представляет собой 
отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Как правило, рассматривается процесс производства за один год. Обозначим
- общий объем продукции 
-й отрасли (ее валовой выпуск);
- объем продукции -й отрасли, потребляемый 
-й отраслью при производстве объема продукции 
;
- объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (удовлетворение потребностей населения, содержание государственных институтов и т.д.).
Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. Балансовые соотношения могут быть выражены линейными уравнениями:
, 
(1.8)
В основу модели Леонтьева лег установленный им факт, что в течении длительного времени уровень технологии производства остается неизменным, откуда следует, что 
- объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве объема продукции - есть технологическая константа. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само допущение называется гипотезой линейности. При этом числа 
называются коэффициентами прямых затрат. Таким образом, учитывая что 
для 
, уравнения (1.8) имеют вид:
(1.9)
Систему (1.9) можно записать в матричном виде, называемом уравнением линейного межотраслевого баланса:
, (1.10)
где 
- вектор валового выпуска, 
- вектор конечного потребления, 
- матрица коэффициентов прямых затрат.
Уравнение (1.10) можно использовать в двух целях: для вычисления неизвестного вектора валового выпуска 
или для нахождения вектора конечного потребления 
.
Матрица 
, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (1.10) – вектор , все элементы которого неотрицательны. В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.
Требование неотрицательности элементов матрицы и векторов и вполне естественно вытекает из прикладного характера поставленной задачи. Впредь будем считать, что матрица и векторы и удовлетворяют данному требованию.
Известно, что если для матрицы и некоторого вектора уравнение (1.10) имеет решение , то матрица продуктивна.
Таким образом, для определения продуктивности матрицы достаточно установить наличие положительного решения системы (1.10) хотя бы для одного положительного вектора .
Перепишем систему (1.10) с использованием единичной матрицы 
:
. (1.11)
Если существует обратная матрица 
, существует единственное решение уравнения (1.11):
. (1.12)
Матрица называется матрицей полных затрат.
Теорема (первый критерий продуктивности). Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица полных затрат и ее элементы неотрицательны.
Теорема (второй критерий продуктивности). Матрица продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
,
причем хотя бы для одного столбца (строки) неравенство строгое.
Пример 15. Дана матрица коэффициентов прямых затрат, вектор валового выпуска для трех отраслей промышленности за истекший год и планируемый на следующий год вектор конечного потребления. Найти вектор конечного потребления за истекший период. Определить объем валового выпуска каждого вида продукции на следующий год.
| № | Отрасль | Потребление | Валовой выпуск | Планируемый конечный продукт | ||
| Добыча и переработка углеводородов | ||||||
| Энергетика | ||||||
| Машиностроение |
Решение. Выпишем вектор валового выпуска и матрицу коэффициентов прямых затрат:
, 
Очевидно, что матрица удовлетворяет второму критерию продуктивности.
Для определения вектора конечного потребления за истекший период используем уравнение (1.11). Имеем:
.
Находим вектор конечного продукта за истекший период:
.
Для ответа на второй вопрос – определение объема валового выпуска каждого вида продукции на следующий год, используем формулу (1.12). Сначала вычислим матрицу прямых затрат:
.
.
Таким образом, чтобы выполнить план по выпуску конечного продукта, нужно увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,1%, уровень энергетики – на 35,8% и выпуск продукции машиностроения – на 85% по сравнению с прошедшим годом. n
Линейная модель торговли
Рассмотрим линейную модель обмена или модель международной торговли, отражающую процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты 
стран, которые мы обозначим соответственно 
, расходуются на покупку товаров. Пусть 
- доля бюджета 
, которую -я страна тратит на закупку товаров у -й страны и - матрица коэффициентов . Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (торговый бюджет), то справедливо равенство
. (1.13)
Матрица со свойством (1.13), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли.
Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
, 
. (1.14)
Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли: для каждой страны ее бюджет не должен превышать выручки от торговли, т.е. 
, или
, 
. (1.15)
В условиях нашей модели неравенства обращаются в равенства. Действительно, если сложить все эти неравенства и сгруппировать по , а также применить свойство (1.13), получим
.
Таким образом, условия (1.15) принимают вид системы линейных уравнений:
. (1.16)
Если ввести вектор бюджетов , то систему (1.16) можно записать в матричном виде
. (1.17)
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы , отвечающий ее собственному значению 
, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.
Для определения будем использовать уравнение (1.17) в виде:
. (1.18)
Пример 16.Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
.
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов равна 6270 д.е.
Решение. Из уравнения (1.18) имеем систему:
.
Ранг матрицы этой системы равен трем, значит, одна из неизвестных является свободной, а остальные выражаются через нее. Решить эту систему можно методом Гаусса (проделайте самостоятельно!). Найденные компоненты собственного вектора имеют вид:
, 
, 
, 
.
Приравниваем сумму найденных значений к заданной сумме бюджетов:
.
Окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в д.е.):
, 
, 
, 
. n