Отношения между схемами высказываний

Обсуждение практических и научных вопросов обычно связано с выдвижением различных положений и мнений. В судебно-следственной практике невозможно обойтись без положений, которые называются версиями. Их приходится сопоставлять друг с другом, одни из них противополагаются другим, некоторые оказываются более сильными, чем другие и т.д. Это означает, что высказывания вступают между собой в различные логические отношения.

Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения схем, которые наполняются содержанием этих высказываний. Будем считать, что две схемы a и b находятся в отношении сопоставимости лишь тогда, когда существует хотя бы одна переменная, содержащаяся как в a, так и в b. Например, схемы AÙB и С®ØB сопоставимы (здесь общая переменная или связь переменных B), а AÙB и C®D – нет.

Основные отношения – это отношения совместимости и несовместимости. Совместимость схем определяется наличием хотя бы одного случая, когда при одинаковых логических значениях переменных эти схемы одновременно получают значение «истинно». При отсутствии такого случая схемы несовместимы. Так, схемы A Ù B и A Ú B совместимы. Это видно из таблицы 6, в частности из первой ее строки, где при подстановке вместо A и B значения «истинно» как первая, так и вторая схема получает значение «истинно». Схемы AÚB и A « B несовместимы, так как при одинаковых значениях A и B они не имеют общего значения "истинно" (таблица 7).

Таблица 6

A B A Ù B A Ú B
и и и и
и л л и
л и л и
л л л л

Таблица 7

A B A « B A Ú B
и и и л
и л л и
л и л и
л л и л

Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:

а) отношение следования, или подчинения;

б) полной совместимости, или равнозначности;

в) частичной совместимости.

Отношение следования (подчинения)

Вывести следствие из некоторых положений – значит изъять из них какую-то часть их содержания. Если исходное содержание является истинным, то и следствие также истинно. Из ложного содержания можно получить как ложное, так и истинное содержание. Поэтому отношение следования в логике высказываний можно определить так: логические схемы a и b находятся в отношении следования (из a следует b), если и только если при одинаковых значениях переменных не бывает так, что схема a получает значение «истинно», а схема b получает значение «ложно». В качестве примера возьмем схемы высказываний: “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие остановится, а если оно остановится, то понесет большие убытки” и “Если электростанция прекратит подачу тока, то предприятие понесет большие убытки”. Сопоставим эти схемы – (A®B) Ù (B®C) и (A®C) - табличным способом (таблица 8).

Таблица 8

A B С (A ® B) Ù (B® C) (A ® C)
и и и и и
и и л л л
и л и л и
л и и и и
и л л л л
л л и и и
л и л л и
л л л и и

 

Первая схема получает значение «истинно» в четырех случаях (см. строки 1-ю, 4-ю, 6-ю, 8-ю). Но в этих же случаях значение «истинно» получает и вторая схема, и нет такого случая, чтобы высказывание первой схемы было истинным, а второй - ложным. Следовательно, из первой схемы следует вторая, соответственно, из первого высказывания следует второе высказывание.

Отношение полной совместимости (равнозначности)

Схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения, и их таблицы истинности полностью совпадают. Например, в отношении полной совместимости находятся схемы высказываний “Если товарное производство расширяется, то натуральное хозяйство разлагается” и “если натуральное хозяйство не разлагается, то товарное производство не расширяется” (таблица 9).

Таблица 9

A B A ® B ØB ® ØA
и и и и
и л л л
л и и и
л л и и

 

Если отношении равнозначности обозначить знаком Û, то верны по крайней мере следующие утверждения:

(1) Ø(A Ù B) ÛØA Ú ØB;

(2) Ø(A Ú B) Û ØA Ù ØB;

(3) A Ú B Û (A Ù ØB) Ú (ØA Ù B);

(4) A ® B ÛØB ® ØA;

(5) A ® B Û Ø(A Ù Ø B);

(6) Ø(A ® B) ÛA ÙØ B;

(7) A ® B ÛØA Ú B;

(8) A « B Û (A ® B)Ù(B ® A);

(9) Ø(A « B) Û AÚB;

(10) A Û ØØA;

(11) A Û AÙ(AÚB);

(12) A Û (AÚB)Ù(A ÚØB);

(13) A Û (AÙB)Ú(AÙØB);

(14) (A Ú C) Ù (B Ú ØC) Û (AÚC)Ù(BÚ ØC)Ù(AÚB);

(15) (A Ù C) Ú (B Ù ØC) Û (AÙC)Ú(BÙØC)ÚAÙB);

(16) AÙ AÛ A;

(17) AÚ AÛ A;

(18) AÙØAÛ л;

(19) AÚØAÛ и;

(20) A Ù (B Ù C) Û (A Ù B)ÙC;