Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ

Двоичная система счисления

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = Cn Cn-1 …C1 C0 C-1 C-m есть сумма степеней числа Р = 2,

C = Cn× 2n +Cn-1× 2n-1 +…+C1× 21 +C0× 20 +C-1× 2-1 +…+C-m× 2-m

Пример 3.6. 101011,112 =1×25 + 0×24 + 1×23 + 0×22 +1×21 + 1×20 +

+1×2-1 + 1×2-2 = 32+8+2+1+0,5+0,25=43,7510.

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления

Десятичная система Двоичная система Шестнад-цатеричная система Десятичная система Двоичная система Шестнад-цатеричная система
А
B
C
D
E
F

 

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе


При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.


Шестнадцатеричная: F16+616 Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.


Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316 Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3 . 81 + 1 . 80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1 . 161 + 9 . 160 = 16+9 = 25.


Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.



Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,28 = 3 . 82 + 181 + 1 . 80 + 2 . 8-1 = 201,25
C9,416 = 12 . 161 + 9 . 160 + 4 . 16-1 = 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016



Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.



Пример 6.Вычтем число 59,75 из числа 201,25.



Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
215,48 = 2 . 82 + 1 . 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1 = 141,5;
8D,816 = 8 . 161 + D . 160 + 8 . 16-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.


Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.


Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.


Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638


Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168


Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.